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Enunciado

Elétrica - Johnson, D. E., Hilburn, J. L., Johnson, J. R. - Fundamentos de Análise de Circuitos Elétricos, PHB- Ed: 4º - Capítulo 9.5 - Ex. 2

Se x (0) = 4 e (d x (0))/(d t) = - 2 , calcule a solução completa no Ex. 9.5.1.

Passo 1

Então pessoal, agora vamos usar esses valores iniciais dados para encontrar as nossas respostas naturais, que somadas com as respostas forçadas que encontramos anteriormente, darão a resposta completa das nossas Equações Diferenciais.

O primeiro passo aqui será encontrar a sua resposta natural e para isso você irá solucionar a sua equação característica (obtida a partir da equação diferencial dada):

s^2 + 4 s + 3 s = 0

Delta = 16 - 12

Delta = 4

s = (- 4 +- sqrt(4))/(2)

s^' = - 1 :. s^(' ') = - 3

Dessa forma, teremos a seguinte resposta natural:

x_n (t) = A_1 e^(- t) + A_2 e^(- 3 t)

E a resposta completa será:

x (t) = x_n (t) + x_f (t)

Passo 2

Na letra (a), tínhamos que a resposta forçada era:

x_f = 2

Portanto, temos a seguinte resposta completa:

x (t) = A_1 e^(- t) + A_2 e^(- 3 t) + 2

Usando as condições iniciais para encontrar A_1 e A_2 , teremos:

x (0) = A_1 + A_2 + 2 = 4

A_1 + A_2 = 2

A_1 = 2 - A_2

(d x (0))/(d t) = - A_1 - 3 A_2 = - 2

Substituindo o valor de A_1 da anterior, temos:

- 2 + A_2 - 3 A_2 = - 2

- 2 A_2 = 0

A_2 = 0

E, portanto, A_1 será:

A_1 = 2 - 0 = 2

Dessa forma, a solução completa é:

x (t) = 2 e^(- t) + 2

Passo 3

Na letra ( b ) , temos que a resposta forçada foi:

x_f (t) = - 8 e^(- 2 t)

Portanto, a resposta completa é:

x ( t ) = A_1 e^(- t) + A_2 e^(- 3 t) - 8 e^(- 2 t)

Usando as condições iniciais, teremos:

x (0) = A_1 + A_2 - 8 = 4

A_1 = 12 - A_2

(d x (0))/(d t) = - A_1 - 3 A_2 + 16 = - 2

Substituindo o valor de A_1 encontrado:

- 12 + A_2 - 3 A_2 + 16 = - 2

- 2 A_2 = - 6

A_2 = 3

E portanto, A_1 vai ser:

A_1 = 12 - 3 = 9

Logo, a resposta completa é:

x (t) = 9 e^(- t) - 8 e^(- 2 t) + 3 e^(- 3 t)

Passo 4

Na letra ( c ) , a nossa resposta forçada foi:

x_f (t) = 2 t + 2

Portanto, a resposta completa é:

x (t) = A_1 e^(- t) + A_2 e^(- 3 t) + 2 t + 2

Usando os valores iniciais, teremos:

x (0) = A_1 + A_2 + 2 = 4

A_1 = 2 - A_2

(d x (0))/(d t) = - A_1 - 3 A_2 + 2 = - 2

Trazendo o valor de A_1 e substituindo, temos:

- 2 + A_2 - 3 A_2 = - 4

- 2 A_2 = - 2

A_2 = 1

E portanto, A_1 será:

A_1 = 2 - 1 = 1

Logo, a resposta completa é:

x (t) = e^(- t) + e^(- 3 t) + 2 t + 2

Resposta

a )

x (t) = 2 e^(- t) + 2

b )

x (t) = 9 e^(- t) - 8 e^(- 2 t) + 3 e^(- 3 t)

c )

x (t) = e^(- t) + e^(- 3 t) + 2 t + 2

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