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Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 40

A chave no circuito da Figura 8.88 é deslocada da posição a para a posição b em t = 0 . Determine i ( t ) para t > 0 .

Passo 1

Vamos lá, galerinha! Quando estamos em t = 0 - , ou seja, no momento antes de t = 0 , nós tmeos que as fontes de tensão são iguais a zero e as condições iniciais são v C 0 = 0 e i L 0 = i 0 = 6 6 + 2 4 = 3 A .

Podemos transformar essa fonte de corrente em paralelo com um resistor em uma fonte de tensão em série com um resistor. Para encontrarmos o valor da nova fonte de tens]ao, basta multiplicarmos a corrente gerada pelo valor da resistência. Assim,

V f o n t e = 4 × 6 = 24 V

Quando t > 0 , passamos a ter o seguinte circuito:

Logo, temos

α = R 2 L = 6 + 14 2 2 = 5

ω 0 = 1 L C = 1 2 0,02 = 1 0,04 = 5

Como os valores de α e ω 0 são iguais, temos a resposta natural com amortecimento crítico. Desse modo, podemos escrever a tensão da seguinte forma:

v t = V s + A e - 5 t + B t e - 5 t ,   o n d e   V S = 24 - 12 = 12   V

Passo 2

Quando olhamos para o instante t = 0 , temos:

v 0 = 0 = 12 + A

A = - 12

A corrente de um indutor pode ser escrita como:

i C t = C d v C d t

i C t = C [ - 5 A + B t e - 5 t + B e - 5 t ]

No instante t = 0 ,

i C 0 = C d v 0 d t = 3

C - 5 A + B = 3

0,02 60 + B = 3

B = 90

Portanto, a corrente final será igual a:

i t = 0,02 90 e - 5 t + - 5 - 12 + 90 t e - 5 t

i t = 3 - 9 t e - 5 t A

Resposta

A corrente é igual a:

i t = 3 - 9 t e - 5 t A

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