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Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 16.Problemas - Ex. 28

Para o circuito da figura, determine v ( t ) para t > 0.

Passo 1

Vamos considerar que o circuito está em estado permanente em t < 0 . O capacitor vai agir como um circuito aberto e o indutor como um curto circuito. Com isso, podemos redesenhar o nosso circuito:

Passo 2

Sabemos que a corrente i ( 0 - ) = 0   A e também que no indutor não podem haver mudanças repentinas na corrente, então temos que:

i ( 0 + ) = i ( 0 - ) = i ( 0 ) = 0 A

Agora, vamos calcular a resistência equivalente pra poder encontrar a tensão v ( 0 - ) :

R 2 = 4 Ω   +   2 Ω = 6 Ω

A tensão v ( 0 - ) = v ( 0 + ) = ( 6 Ω ) ( 4 A )   = 24   V , pois no capacitor, não pode haver mudanças repentinas de tensão.

Passo 3

Para t > 0 vamos desenhar outro circuito:

Passo 4

Agora, vamos passar esse circuito para o domínio de Laplace incluindo as condições iniciais:

Passo 5

Aplicando a lei das tensões de Kirchhoff teremos:

- 24 s + 25 s I ( s ) + s I ( s ) + 6 I ( s ) + 100 s = 0

I ( s ) = - 76 s 2 + 6 s + 25

E em seguida, a tensão através do capacitor:

V ( s ) = ( s + 6 ) [ - 76 s 2 + 6 s + 25 ]   + 100 s   = 24 s 2 + 144 s + 2500 s ( s 2 + 6 s + 25 )

Passo 6

Separando em frações parciais teremos:

V ( s )   = 24 s 2 + 144 s + 2500 s ( s 2 + 6 s + 25 ) = A s + B s + C s 2 + 6 s + 25

Agora basta encontrar A ,   B   e   C :

A = 100

B =   - 76

C =   - 456

Daí, substituindo, teremos:

V ( s ) = 100 s - 76 s + 456 s 2 + 6 s + 25 = 100 s - 76 s ( s + 3 ) 2 + 4 2 - 114 4 ( s + 3 ) 2 + 4 2

Por Laplace utilizando a tabela de transformadas, teremos:

v ( t ) = 2 [ 50 - 38 c o s ( 4 t ) - 57 s e n ( 4 t ) ] u ( t )   V .

Resposta

v ( t ) = 2 [ 50 - 38 c o s ( 4 t ) - 57 s e n ( 4 t ) ] u ( t )   V .

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