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Enunciado

Elétrica - Johnson, D. E., Hilburn, J. L., Johnson, J. R. - Fundamentos de Análise de Circuitos Elétricos, PHB- Ed: 4º - Capítulo 1.Problemas - Ex. 24

Considera que a corrente que entra pelo terminal positivo de um elemento seja

i = 2 s e n 6 t   A ,   t > 0

= 0 ,   t < 0

(a)Se a tensão é v = 4 d i d t V mostre que a energia entregue ao elemento é não-negativa para todo o tempo.

(b)Repita o item (a) para v = 3 ∫ 0 t i d t V .

Passo 1

Falaaa, galerinha!!!

Vamos mandar ver nessa questão 😉. A questão está nos pedindo para mostrarmos que a carga será positiva, ou seja, ativa. Agora, que já sabemos o que a questão nos pede, vamos fazer juntos e mandar bronca! 💪

Para começar vamos achar o valor da potência nesse elemento:

(a)

v = 4 d i d t

v = 4 ⋅ d 2 s e n 6 t d t

v = 4 ⋅ 2 ⋅ 6 cos ⁡ 6 t

v = 48 cos ⁡ 6 t

Belezinha! Agora que temos nosso v   e   i , podemos jogar na fórmula da potência.

P = v ⋅ i

P = 48 cos ⁡ 6 t ⋅ 2 s e n 6 t

P = 96 cos ⁡ 6 t ⋅ s e n 6 t W

Passo 2

Muito bem, pessoal! Tá tirando onda, vamos continuar assim! Feito isso, vamos utilizar a formula da energia, a qual nos diz que:

w = ∫ 0 t p d t . Sabendo isso, vamos substituir.

w = ∫ 0 t 96 cos ⁡ 6 t ⋅ s e n 6 t d t

Vamos resolver essa integral?

∫ 0 t s e n a x ⋅ c o s a x d x = - cos ⁡ 2 a x 4 a

w = 96 ∫ 0 t s e n 12 t 2 d t

w = 48 ∫ 0 t s e n ( 12 t ) d t

∫ 0 t s e n a x = - 1 a cos ⁡ a x

w = - 48 12 [ cos ⁡ 12 t ] | 0 t

w = - 4 cos ⁡ 12 t + 4 cos ⁡ 0

w = 1 - cos ⁡ 12 t J

Passo 3

Boa, colega. Você está indo muito bem! Vamos fazer a letra (b) quando v = 3 ∫ 0 t i d t V . e vamos seguir a mesma lógica da letra (a). Partiu 😎

v = 3 ∫ 0 t i d t V

v = 3 ∫ 0 t 2 s e n 6 t d t .

v = 3 ⋅ 2 ∫ 0 t s e n 6 t d t .

v = - 6 6 [ cos ⁡ 6 t ] | 0 t

v = - 1 [ cos ⁡ 6 t - cos ⁡ 0 )

v = 1 - cos ⁡ 6 t

Belezinha! Agora que temos nosso v   e   i , podemos jogar na fórmula da potência.

P = v ⋅ i

P = [ 1 - cos ⁡ 6 t ] ⋅ 2 s e n 6 t

P = 2 s e n 6 t - 2 s e n 6 t ⋅ cos ⁡ 6 t

Simplificando:

P = 2 s e n 6 t - s e n 12 t W

Passo 4

Muito bem, pessoal! Tá tirando onda, vamos continuar assim! Feito isso, vamos utilizar a formula da energia, a qual nos diz que:

w = ∫ 0 t p d t . Sabendo isso, vamos substituir.

w = ∫ 0 t 2 s e n 6 t - s e n 12 t d t

Vamos resolver essa integral?

w = ∫ 0 t 2 s e n 6 t - ∫ 0 t s e n 12 t d t

w = 2 ∫ 0 t s e n 6 t - ∫ 0 t s e n 12 t d t

w = - 2 6 [ cos ⁡ 6 t ] | 0 t + 1 12 [ c o s ⁡ ( 12 t ) 0 t

w = 1 3 1 - cos ⁡ 6 t - 1 12 [ 1 - cos ⁡ 12 t )

w = 1 3 1 - cos ⁡ 6 t - 1 12 [ 1 - c o s 2 6 t + s e n 2 6 t

w = 1 3 - 1 3 cos ⁡ 6 t - 1 12 + 1 12   c o s 2 6 t - 1 12 s e n 2 6 t

w = 1 3 { 1 - cos ⁡ 6 t - 1 4 + c o s 2 6 t 4 - s e n 2 6 t 4

w = 1 3 [ 1 - cos ⁡ 6 t - 1 2 + c o s 2 6 t 2

w = 1 3 1 2 2 - 2 cos ⁡ 6 t - 1 + c o s 2 6 t

w = 1 6 cos ⁡ 6 t - 1 2 J

Muito bem, pessoal 🤩 Arrasou dms!

Resposta

(a) w = 1 - cos ⁡ 12 t J

(b) w = 1 6 cos ⁡ 6 t - 1 2 J

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