Enunciado

Se f (varphi) = cos varphi + j s e n varphi , demonstre que f (varphi) = e^(j varphi) .

Passo 1

Bom, uma questão de demonstração, que beleza! Seja a função

f (varphi) = cos varphi + j s i n varphi ... ( 1 )

Derivando a equação ( 1 ) em relação a varphi

(d f (varphi))/(d varphi) = - s e n varphi + j cos varphi

Sabemos que j^2 = - 1 . Assim,

(d f (varphi))/(d varphi) = j^2 s e n varphi + j cos varphi

(d f (varphi))/(d varphi) = j (cos varphi + j s e n varphi)

(d f (varphi))/(d varphi) = j f (varphi) ... ( 2 )

Da equação ( 2 ) ,

(d f (varphi))/(f ( varphi )) = j d varphi ... ( 3 )

Passo 2

Integrando a equação ( 3 ) :

int (d f (varphi))/(f (varphi)) = int j d varphi

ln (f (varphi)) = j varphi + ln (A)

ln (f (varphi)) - ln (A) = j varphi

ln ((f (varphi))/(A)) = j varphi

Aplicando a exponencial nos dois lados da equação:

f (varphi) = A e^(j varphi) ... ( 4 )

Igualando as equações ( 1 ) e ( 4 ) :

cos varphi + j s e n varphi = A e^(j varphi) ... ( 5 )

Substituindo varphi por zero na equação ( 5 ) ,

A e^0 = cos 0 + j s e n 0

A = 1

Assim,

f (varphi) = e^(j varphi)

Pronto, demonstrado!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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