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Enunciado

Elétrica - James W. Nilsson, Circuitos Elétricos- Ed: 10º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 21

a) Dado que F(s) = l {f (t)}, mostre que - d F(s)/ds = l {t f (t)}.

b) Mostre que (-1)^nd^nF(s) ds^n = l{t^nf(t)} .

c) Use o resultado de (b) para determinar e l{t^5}, l{tsenbt} e l{te^-tcosh t}.

Passo 1

Beleza pessoal?! Espero que sim, pois temos transformadas de Laplace para responder, para uns o céu para outros.... vem comigo!!!

  1. Usando a transformada de Laplace e os dados da questão,

    d F s d s = d d s L f t

    = d d s [ ∫ 0 - ∞ f ( t ) e - s t ]

    = - ∫ 0 - ∞ t f t e - s t d t

    De acordo com a definição de Laplace,

    ∫ 0 - ∞ t f ( t ) e - s t d t   =   - L { t f ( t ) ) }

    Sendo assim, conseguimos mostrar.

    Passo 2

  2. Da letra A, temos que

    3. d 2 F s d s 2   =   ∫ 0 - ∞ t 2 f t e - s t d t

    d 3 F s d s 3   =   ∫ 0 - ∞ - t 3 f t e - s t d t

    Assim, sendo

    d n F s d s n = - 1 ∫ 0 - ∞ t n f t e - s t d t

    = - 1 L t n f t

    - 1 n d n F s d s n = L t n f t

    Passo 3

  3. Usando o que conseguimos obter na parte (b)

L { t 5 } = L t 4 t

= - 1 4 d 4 d s 4 F s

Da tabela 12.1

F s = 1 s 2

L t 4 t = - 1 4 d 4 d s 4 1 s 2

Logo,

L t 5 = 1 20 s 6

Usando novamente um resultado obtido na parte (b) e a tabela 12.1

L t sin ⁡ β t = 2 β s s 2 + β 2

Lembrando que

F s = L cosh ⁡ t = s s 2 - 1

d F d s   =   1 s 2 - 1 - 2 s s s 2 - 1 2

= - s 2 + 1 s 2 - 1 2

Agora,

- d F d s   = s 2 + 1 s 2 - 1 2

De b)

L t cosh ⁡ t = s 2 + 1 s 2 - 1 2

Novamente da tabela 12.1

L t e - t cosh ⁡ t = s + 1 2 + 1 s + 1 2 - 1

L t e - t cosh ⁡ t = s 2 + 2 s + 2 s 2 s + 2 2

Resposta

Veja o desenvolvimento parça!

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No circuito da figura, a chave esteve na posição 1 por um longo tempo antes de ser movida para a posição 2 em t = 0 . Determine: v ( 0 + ) ,d v ( 0 + ) d t v ( t ) para t ≥ 0 .
Determine i_0 ( t ) para t0 no circuito da figura.
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Determine vo(t) no circuito da Figura 16.82 se vx(0) = 2 V e i(0) = 1 A.
Determine a transformada de Laplace da tensão mostrada na figura. Usando o valor de v s ( t ) no circuito mostrado na figura, determine o valor de v o ( t ) .