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Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 16.Problemas - Ex. 53

No circuito da figura, a chave esteve na posição 1 por um longo tempo antes de ser movida para a posição 2 em t = 0 . Determine:

  1. v ( 0 + ) ,   d v ( 0 + ) d t
  2. v ( t ) para t ≥ 0 .

Passo 1

Vamos começar passando os elementos para o domínio de Laplace e desenhando o circuito para t < 0 (regime permanente) para facilitar a visualização:

Note que em regime permanente o indutor é um curto circuito e o capacitor é um circuito aberto.

Passo 2

Como o capacitor não permite mudanças repentinas na tensão, então:

v ( 0 - ) = v ( 0 + ) = v ( 0 ) = 4   V

Passo 3

Agora, faremos para t > 0 no domínio de Laplace e com as condições iniciais:

Passo 4

Agora, basta calcular a derivada da tensão.

Aplicando a lei das tensões de Kirchhoff no nó V :

C d V c ( 0 + ) d t + V ( 0 + ) 0.5 + i L ( 0 + ) = 0

d V c ( 0 + ) d t =   - 8 V

d v ( 0 + ) d t =   - 8 V

Passo 5

Na letra b, temos o circuito para t > 0 no domínio de Laplace:

Passo 6

Utilizando a análise nodal no nó, temos:

V ( s ) 0.25 s + V ( s ) 0.5 + V ( s ) 1 s - 4 = 0

V ( s )   = 4 s s 2 + 2 s + 4

Passo 7

Como a equação é mais simples, não precisamos utilizando o método das frações parciais, então, por Laplace utilizando a tabela de transformadas, teremos:

e - a t f ( t ) ↔ F ( s + a )

u ( t ) ↔ 1 s

t ↔ 1 s 2

e - a t c o s ω t ↔ s + a ( s + a ) 2 + ω 2

e - a t s i n ω t ↔ ω ( s + a ) 2 + ω 2

Chegaremos em:

V ( s )   = 4 s s 2 + 2 s + 4 = 4 ( s + 1 ) ( s + 1 ) 2 + ( 3 ) 2 - 1 3 4 × 3 ( s + 1 ) 2 + ( 3 ) 2

Fazendo a inversa, chegamos à:

v ( t )   =   4.618 e - t c o s ( 1.732 t + π 6 ) V , para t > 0.

Resposta

  1. d v ( 0 + ) d t =   - 8 V
  2. v ( t )   =   4.618 e - t c o s ( 1.732 t + π 6 ) V , para t > 0.
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