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Enunciado

Elétrica - James W. Nilsson, Circuitos Elétricos- Ed: 10º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 42

Determine f(t) para cada uma das seguintes funções:

Passo 1

Beleza pessoal?! Espero que sim pois temos uma questão bem complicada e perfeitinha para fazermos.

  1. O denominador aqui tem três raízes que ocorrem em s = - 8 e as outras duas em s = 0. Assim, F(s) pode ser expresso como

    2. F s = K 1 s 2 + K 2 s + K 3 s + 8       ( 1 )

    Resolvendo K 1 para s = 0

    K 1 = 40

    Resolvendo K 2 para s = 0

    K 2 = d d s 320 s + 8

    =   - 5

    Resolvendo para K 3 para s = -8

    K 3 = 380 s 2

      =   5

    Substituindo em (1)

    F s = 40 s 2 - 5 s + 5 s + 8  

    Da tabela 12.1

    f t = 40 t - 5 + 5 e - 8 t u t

  2. O denominador aqui tem três raízes que ocorrem em s = -8 e as outras duas em s = -2. Assim, F(s) pode ser expresso como

    3. F s = K 1 s + K 2 s + 2 2 + K 3 s + 2     ( 2 )

    Resolvendo ara K 1 e s = 0

    K 1 = 80 s + 3 s + 2 2

    K 1 = 60

    Para resolver para K 2 e s = -2

    K 2 = 80 s + 3 s

      =   - 40

    Agora para K 3 e s = -2

    K 3 = d d s 80 s + 3 s

    = s 80 - 80 s + 3 s 2

    =   -   60

    Substituindo em em (2) temos

    F s = 60 s - 40 s + 2 2 - 40 s + 2

    Da tabela 12.1

    f t = 60 - 40 t - 2 t - 60 e - 2 t u t

    Passo 2

  3. O denominador aqui tem quatro raízes distintas, duas das quais ocorrem em s = -1 e as outras duas raízes ocorrem nas duas raízes da função quadrática, então, usando a fórmula quadrática, obtenha duas raízes da função quadrática usando a seguinte fórmula

    4. s 1,2 = - 6 ± 6 2 - 4 1 25 2 1

    = - 6 ± 8 j 2

    = -   3   ± j 4

    Podemos expressar F s

    F s = K 1 s + 1 2 + K 2 s + 1 + K 3 s + 3 - j 4 + K 3 * s + 3 - j 4       3

    Para K 1 s = -1

    K 1 = 60 s + 5 s 2 + 6 s + 25

    = 12

    Para K 2 e s = -1

    K 2 = d d s 60 s + 50 s 2 + 6 s + 25

    =   0.6

    Para K 3 e s = -3 + j4

    K 3 = 60 s + 5 s + 1 2 s + 3 + j 4

    = 60 - 3 + j 4 + 5 - 3 + j 4 + 1 2 - 3 + j 4 + 3 + j 4

    = 1.68 ∠ 100.305 º

    Substituindo agora em (4)

    F s = 12 s + 1 2 + 0.6 s + 1 + 1.68 ∠ 100.305 º s + 3 - j 4 + 1.68 ∠ - 100.305 º s + 3 - j 4

    Da tabela 12.1 e da equação 12.64

    f t = 12 t e - t + 0.6 e - t + 3.35 e - 3 t c o s 4 t + 100.35 u t

    Passo 3

  4. O denominador aqui tem quatro raízes, duas das quais ocorrem em s = 0 e as outras duas raízes ocorrem em s = -5. Assim, F(s) pode ser expresso como

F s = K 1 s 2 + K 2 s + K 3 s + 5 2 + K 4 s + 5       ( 4 )

Resolvendo para K 1 s = 0

K 1 = 25 s + 4 2 s + 5 2

=   16

Para K 2 para s = 0

K 2 = d d s 25 s + 4 2 s + 5 2

= s + 5 2 50 s + 4 - 2 s + 5 25 s + 4 2 s + 5 4

= 1.6

Resolvendo para K 3 e s = -5

K 3 = 25 s + 4 2 s 2

=   1

Resolvendo para K 4 e s = -5

K 4 = d d s 25 s + 4 2 s 2

= 50 s 2 s + 4 - 50 s s + 4 2 s 4

= - 1.6

Substituindo em (4)

F s = 16 s 2 + 16 s + 1 s + 5 2 - 1.6 s + 5     ( 4 )

f t = 16 t + 1.6 + t e - 5 t - 1.6 e - 5 t u t

Resposta

Veja o desenvolvimento.

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Considere a figura e elabore um problema para ajudar outros estudantes a entender melhor como fazer a análise de circuito no domínio s em circuitos que têm elementos mutuamente acoplados.