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Enunciado

Elétrica - James W. Nilsson, Circuitos Elétricos- Ed: 10º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 1

Os elementos de circuito da Figura 8.1 são R = 125   Ω , L = 200   m H e C = 5   μ F . A corrente inicial no indutor é -0,3 A e a tensão inicial no capacitor é 25 V.

a) Calcule a corrente inicial em cada ramo do circuito.

b) Determine v t para t ≥ 0 .

c) Determine i L ( t ) para t ≥ 0 .

Passo 1

Faaala, galerinha!! Como vocês estão? Partiu resolver mais uma questãozinha?

Primeiramente, resolveremos o tópico (a) que pede a corrente inicial em cada ramo do circuito.

Desse modo, no primeiro ramo temos:

i R 0 = V R = 25 125 = 200   m A

No segundo temos:

i L 0 = - 300   m A

E por fim, temos:

i C 0 = - i L 0 - i R 0 = 300 - 200 = 100   m A

Passo 2

Já para o item (b), antes de calcularmos o valor de v ( t ) , devemos primeiro avaliar a resposta do circuito. Faremos isso primeiramente encontrando o valor de α e depois o valor de ω 0 , de modo a compará-los.

α = 1 2 R C = 1 2 125 5 * 10 - 6 = 800

ω 0 = 1 L C = 1 200 * 10 - 3 8 * 10 - 6 = 100

Avaliando os valores encontrados, vemos que: α 2 < ω 0 2 . Portanto, a resposta do circuito é subamortecida.

Sendo assim, a fórmula utilizada para os valores de v t será: v t = B 1 e - α t cos ⁡ ω d t + B 2 e - α t sin ⁡ ω d

Encontraremos agora o valor de ω d para substitui-lo na fórmula acima

ω d = ω 0 2 - α 2 = 1000 2 - 800 2 = 600

Substituindo o valor acima na fórmula de v temos:

v ( t ) = B 1 e - 800 t cos ⁡ 600 t + B 2 e - 800 t sin ⁡ 600 t

Agora encontraremos os valores de B 1 e B 2 da seguinte maneira:

v 0 = B 1 = 25

d v d t 0 = - α B 1 + ω d B 2 = 1 C i C 0

- 800 25 + 600 B 2 = 1 5 * 10 - 6 0,1 = 20.000

B 2 = 20.000 + 800 25 600 = 66,67

Portanto, o valor de v ( t ) se dá por:

v t = 25 e - 800 t cos ⁡ 600 t + 66,67 e - 800 t sin ⁡ 600 t   V ,           t ≥ 0

Passo 3

Já para o passo (c), encontraremos primeiro o calor de i C e em seguida o de i R , de modo a substitui-los na fórmula de i L : i L = - i C - i R

Sendo assim:

i C = C d v d t = 5 * 10 - 6 [ 20.000 e - 800 t cos ⁡ 600 t - 68.333,33 e - 800 t sin ⁡ 600 t ]

i C = 100 e - 800 t cos ⁡ 600 t - 341,67 e - 800 t sin ⁡ 600 t   m A

Para i R temos:

i R = v R = 200 e - 800 t cos ⁡ 600 t + 533,36 e - 800 t sin ⁡ 600 t   m A

Finalmente, o valor de i L será então:

i L = - i C - i R = - 300 e - 800 t cos ⁡ 600 t - 191,7 e - 800 t sin ⁡ 600 t   m A ,               t ≥ 0

Prontinho, pessoal!! Bora resolver mais uma questão juntos?

Resposta

(a) i R 0 = 200   m A ; i L 0 = - 300   m A ; i C 0 = 100   m A

(b) v t = 25 e - 800 t cos ⁡ 600 t + 66,67 e - 800 t sin ⁡ 600 t   V ,           t ≥ 0

(c) i L = - 300 e - 800 t cos ⁡ 600 t - 191,7 e - 800 t sin ⁡ 600 t   m A ,               t ≥ 0

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