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Enunciado

Elétrica - James W. Nilsson, Circuitos Elétricos- Ed: 10º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 64

Mostre que as expressões para condutâncias em Δ em função das três condutâncias em Y são

G a = G 2 G 3 G 1 + G 2 + G 3

G b = G 1 G 3 G 1 + G 2 + G 3

G c = G 1 G 2 G 1 + G 2 + G 3

em que

G a = 1 R a ,     G 1 = 1 R 1   ,           e t c .

Passo 1

Show de bola, pessoal! Vamos para uma questão teórica de demonstração. E para começarmos, vamos relembrar quais são as fórmulas que relacionam as resistências de Y para Δ :

R a = R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 1 R 3 R 1

R b = R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 1 R 3 R 2

R c = R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 1 R 3 R 3

Passo 2

Vamos começar com a condutância G a :

G a = 1 R a = R 1 R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 1 R 3

Agora vamos inverter cada resistência para obtermos a condutância associada:

G a = 1 G 1 1 G 1 ⋅ 1 G 2 + 1 G 2 ⋅ 1 G 3 + 1 G 1 + 1 G 3 = 1 G 1 1 G 1 G 2 + 1 G 2 G 3 + 1 G 1 G 3

⇒ G a = 1 G 1 ( G 1 G 2 G 3 2 + G 1 2 G 2 G 3 + G 1 G 2 2 G 3 ) G 1 2 G 2 2 G 3 2

⇒ G a = 1 G 1 ⋅ G 1 2 G 2 2 G 3 2 ( G 1 G 2 G 3 2 + G 1 2 G 2 G 3 + G 1 G 2 2 G 3 )

⇒ G a =   G 1 G 2 2 G 3 2 ( G 1 G 2 G 3 2 + G 1 2 G 2 G 3 + G 1 G 2 2 G 3 )

Agora, vamos cancelar cada termo no denominador com o numerador e vamos ver o que sobra: se percebermos bem, cada termo possui pelo menos uma multiplicação de G 1 G 2 G 3 . Assim, vamos dividir cada termo por G 1 G 2 G 3 . Logo

G a = G 2 G 3 G 3 + G 1 + G 2

Organizando o denominador, obtemos:

G a = G 2 G 3 G 1 + G 2 + G 3

Como queríamos demonstrar.

Passo 3

Vamos agora para a condutância G b :

G b = 1 R b = R 2 R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 1 R 3

Agora vamos inverter cada resistência para obtermos a condutância associada:

G b = 1 G 2 1 G 1 ⋅ 1 G 2 + 1 G 2 ⋅ 1 G 3 + 1 G 1 + 1 G 3 = 1 G 2 1 G 1 G 2 + 1 G 2 G 3 + 1 G 1 G 3

⇒ G b = 1 G 2 ( G 1 G 2 G 3 2 + G 1 2 G 2 G 3 + G 1 G 2 2 G 3 ) G 1 2 G 2 2 G 3 2

⇒ G b = 1 G 2 ⋅ G 1 2 G 2 2 G 3 2 ( G 1 G 2 G 3 2 + G 1 2 G 2 G 3 + G 1 G 2 2 G 3 )

⇒ G b =   G 1 2 G 2 G 3 2 ( G 1 G 2 G 3 2 + G 1 2 G 2 G 3 + G 1 G 2 2 G 3 )

Agora, vamos cancelar cada termo no denominador com o numerador e vamos ver o que sobra: se percebermos bem, cada termo possui pelo menos uma multiplicação de G 1 G 2 G 3 . Assim, vamos dividir cada termo por G 1 G 2 G 3 . Logo

G b = G 1 G 3 G 3 + G 1 + G 2

Organizando o denominador, obtemos:

G b = G 2 G 3 G 1 + G 2 + G 3

Como queríamos demonstrar.

Passo 4

E finalmente, vamos para a condutância G c :

G c = 1 R c = R 3 R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 1 R 3

Agora vamos inverter cada resistência para obtermos a condutância associada:

G c = 1 G 3 1 G 1 ⋅ 1 G 2 + 1 G 2 ⋅ 1 G 3 + 1 G 1 + 1 G 3 = 1 G 3 1 G 1 G 2 + 1 G 2 G 3 + 1 G 1 G 3

⇒ G c = 1 G 3 ( G 1 G 2 G 3 2 + G 1 2 G 2 G 3 + G 1 G 2 2 G 3 ) G 1 2 G 2 2 G 3 2

⇒ G c = 1 G 3 ⋅ G 1 2 G 2 2 G 3 2 ( G 1 G 2 G 3 2 + G 1 2 G 2 G 3 + G 1 G 2 2 G 3 )

⇒ G c =   G 1 2 G 2 2 G 3 ( G 1 G 2 G 3 2 + G 1 2 G 2 G 3 + G 1 G 2 2 G 3 )

Agora, vamos cancelar cada termo no denominador com o numerador e vamos ver o que sobra: se percebermos bem, cada termo possui pelo menos uma multiplicação de G 1 G 2 G 3 . Assim, vamos dividir cada termo por G 1 G 2 G 3 . Logo

G c = G 1 G 2 G 3 + G 1 + G 2

Organizando o denominador, obtemos:

G c = G 1 G 2 G 1 + G 2 + G 3

Como queríamos demonstrar.

Ufa! Parecia que não tinha fim! Eu aposto que se essa questão cair numa prova, seria numa 2ª chamada. Por isso, se eu fosse você, não faltaria uma prova por nada. Eu que não iria arriscar!

Resposta

As demonstrações.

Exercícios de Livros Relacionados

Determine a R_e q para o circuito da figura 2.94 .
Usando associações de resistências em série/paralelo, determine a resistência equivalente vista pela fonte no circuito da figura 2.98 e a potência total dissipada pela rede de resistores.
Determine R para o circuito da figura 2.101 .
Todos os resistores na figura 2.93 são de 5 Ω cada. Determine R e q .
Se R_e q = 50 omega no circuito da figura 2.105 , determine R .