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Enunciado

Elétrica - Johnson, D. E., Hilburn, J. L., Johnson, J. R. - Fundamentos de Análise de Circuitos Elétricos, PHB- Ed: 4º - Capítulo 9.2 - Ex. 3

Mostre que se o membro da direita da equação diferencial do Ex. 9.2.1 é alterado de 0 para 12 , então

x = A 1 e - 2 t + A 2 e - 3 t + 2

É uma solução. Então a resposta natural é A 1 e - 2 t + A 2 e - 3 t e a resposta forçada é 2.

Passo 1

E aí pessoal,

Agora a nossa equação diferencial está diferente. Isso por que o membro da direita não é mais zero, agora a nossa equação vai ficar como:

d 2 x d t 2 + 5 d x d t + 6 x = 12

Vamos provar então que x = A 1 e - 2 t + A 2 e - 3 t + 2

satisfaz essa equação, e para isso, vamos substituir o seu valor e das suas derivadas primeira e segunda na equação diferencial dada e verificar se a igualdade será mantida.

Passo 2

Para substituir x e suas derivadas, vamos primeiro calcular essas derivadas:

x = A 1 e - 2 t + A 2 e - 3 t + 2

d x d t = ( A 1 × - 2 × e - 2 t ) + ( A 2 × - 3 × e - 3 t )

d x d t =   - 2 A 1 e - 2 t - 3 A 2 e - 3 t

d 2 x d t 2 = - 2 A 1 × - 2 × e - 2 t + - 3 A 2 × - 3 × e - 3 t

d 2 x d t 2 = 4 A 1 e - 2 t + 9 e - 3 t

Passo 3

Sendo assim, ao substituir esses valores na equação diferencial, teremos:

d 2 x d t 2 + 5 d x d t + 6 x 1 = 12

4 A 1 e - 2 t + 9 A 2 e - 3 t + 5 - 2 A 1 e - 2 t - 3 A 2 e - 3 t + 6 A 1 e - 2 t + A 2 e - 3 t + 2 = 12

A 1 e - 2 t 4 - 10 + 6 + A 2 e - 3 t 9 - 15 + 6 + 12 = 12

A 1 e - 2 t 0 + A 2 e - 3 t 0 = 12 - 12

0 + 0 = 0

Opa, a igualdade foi mantida, isso é, o lado esquerdo e o lado direito da equação são iguais, por isso provamos que x = A 1 e - 2 t + A 2 e - 3 t + 2 é uma resposta

Além disso, podemos dizer que A 1 e - 2 t + A 2 e - 3 t são a resposta natural x n , pois ela possui constantes arbitrárias A 1   e   A 2 e como vimos nos exercícios anteriores, ela resolve a equação diferencial quando o membro da direita é f t = 0 .

Você também pode verificar que x = 2 , resolveria a equação diferencial.

(Nesse caso, como x é constante, d x d t = 0 e d 2 x d t 2 = 0 ).

E, por conta disso, 2 é a resposta forçada para quando f t = 12 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercícios de Livros Relacionados

No circuito da figura 7.79, a tensão no capacitor imediatamente antes de t = 0 é: a10 V b 7 V c6 V d4 V e0 V
No circuito da Figura 7.79 , v ( ∞ ) é: 10V 7V 6V 4V 0V
Se o circuito está em regime permanente cc em t = 0 - , calcule v para t0 .
Mostre que x = x 1 + x 2 = A 1 e - 2 t + A 2 e - 3 t Também é uma solução da equação diferencial do Ex. 9.2.1
Mostre que x 1 = A 1 e - 2 t e x 2 = A 2 e - 3 t são soluções de d 2 x d t 2 + 5 d x d t + 6 x = 0 Independentemente do valor das constantes A 1 e A 2 .