a) Mostre que

(Sugestão: integre por partes.)

b) Use a fórmula em (a) para mostrar que

a)

Vamos seguir a orientação dada pelo autor e vamos integrar por partes. Infelizmente ele não diz o que vamos usar como e , mas como o integrando é pequeno, podemos escolher um conjunto que seja fácil pra integrar. Primeiro, vamos lembrar qual é o mnemônico usado na integração por partes:

Assim, vamos escolher e . Assim, os outros dois valores são obtidos derivando e integrando, respectivamente: e .

Então, só nos resta aplicar os 4 termos na fórmula da integral:

Aqui cabe três observações. A primeira é que formalmente temos que usar limites quando o limite de uma integral é infinito (positivo ou negativo). Aqui nas disciplinas de circuitos, nós temos um pouco de liberdade para omitirmos alguns passos e sermos mais objetivos, mas isso é apenas nessa disciplina, tá?

A segunda é que a função delta de dirac na forma tem valor em e nos demais valores de . Assim, o primeiro termo no lado direito vale zero.

A terceira observação é que a integral do lado direito envolve um delta de dirac. O cálculo é bem simples: quando a função aparece no integrando, se , onde e são os limites inferior e superior, respectivamente, o valor da integral é simplesmente o valor da função no ponto . Assim

Logo,

b)

Bem, aqui o que temos que fazer é aplicar a definição:

Lembrando da terceira observação do passo anterior, temos que esta integração vai nos dar o seguinte valor