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Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 14.Problemas - Ex. 57b

Determine a frequência central e a largura de banda dos filtros passa-faixa na Figura 14.88

Letra b)

Passo 1

Letra b) Filtro passa-faixa composto por um circuito com Resistores e Indutores

Se liga ai! O circuito é o observado abaixo. Primeiramente vamos nomear duas correntes neste circuito, são estas a corrente total I   e a corrente I 1   que irá circular pela saída   V 0   . Outro passo importante é passar todos os componentes para suas respectivas impedâncias

Passo 2

Vamos determinar a impedância total do circuito definida como Z ( s ) . Primeiro vamos encontrar Z 1   composto pela associação em série do resistor com o indutor final

Z 1 = R + s L

Em seguida esta associação estará em paralelo com o primeiro resistor, logo

Z 2 = Z 1   | | R = R R + s L R + R + s L

Que resultará em

Z 2 = R 2 + s R L 2 R + s L  

Somado ao primeiro indutor em série com Z 2

Z s = s L + R 2 + s R L 2 R + s L     →               s L 2 R + s L 2 R + s L + R 2 + s R L 2 R + s L             →               s 2 R L + s 2 L 2 + R 2 + s R L 2 R + s L  

Logo

Z s = s 2 L 2 + s 3 R L + R 2 2 R + s L  

Passo 3

Com Z   podemos encontrar I pela lei de Ohm

I = V s Z

E a corrente I 1   que passa pelo resistor e indutor final pode ser encontrada pelo divisor de corrente

I 1 = R 2 R + s L ⋅ I   → R 2 R + s L ⋅ V s Z     → R V s 2 R + s L ⋅ Z

Como a tensão V 0 é encontrada por

V 0 = s L ⋅ I 1  

Logo I 1 também é

I 1 = V 0 s L

Passo 4

Igualando o encontrado no passo 3

V 0 s L = V s 2 + s R C ⋅ Z  

Obteremos

H s = V 0 V s =   s R L 2 R + s L ⋅ Z

Passo 5

Substituindo Z

H s = V 0 V s =   s R L 2 R + s L ⋅ 2 R + s L s 2 L 2 + s 3 R L + R 2

Simplificando 2 R + s L   e organizando termo a termo

H s = s R L s 2 L 2 + s 3 R L + R 2

Passo 6

O passo seguinte é colocar a função de transferência na forma padrão do filtro passa-faixa

H s = s B s 2 + s B + ω 0 2  

Dividindo a expressão encontrada no passo anterior por L 2

H s = s R L s 2 + s 3 R L + R 2 L 2

Multiplicando em cima por 3 3   e em seguida colocando 1 3   em evidência, obteremos finalmente

H s = 1 3 3 R L s s 2 + s 3 R L + R 2 L 2

Desta forma, por comparação a largura de banda B   será

B = 3 R L

Como R = 1 Ω   e L = 1 H

B = 3   r a d / s

E a frequência central ω 0

ω 0 = R L

ω 0 = 1   r a d / s

Resposta

Letra b)

A largura de banda é B = 3 r a d / s

A frequência central é igual a ω 0 = 1   r a d / s

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