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Enunciado

Elétrica - James W. Nilsson, Circuitos Elétricos- Ed: 10º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 4

A resistência, indutância e capacitância de um circuito RLC em paralelo são 2.000 Ω , 250 mH e 10 nF, respectivamente.

a) Calcule as raízes da equação característica que descreve a resposta de tensão do circuito.

b) A resposta será superamortecida, subamortecida ou criticamente amortecida?

c) Qual é o valor de R que resultará em uma frequência amortecida de 12 krads/s?

d) Quais são as raízes da equação característica para o valor de R determinado em (c)?

e) Qual é o valor de R que resultará em uma resposta criticamente amortecida?

Passo 1

Faaala, galerinha!! Como vocês estão? Partiu resolver mais uma questãozinha?

Primeiramente, resolveremos o item (a), calcularemos o valor de α e o valor de ω 0 2 , de modo a utilizá-los para calcular as raízes a partir da seguinte fórmula:

s 1,2 = - α ± α 2 - ω 0 2

Sendo assim, temos para α :

α = 1 2 R C = 10 12 ( 4000 ) ( 10 ) = 25.000

Para ω 0 2 temos:

ω 0 2 = 1 L C = 10 12 ( 250 ) ( 10 ) = 4 00 * 10 6

Substituindo os valores na fórmula para encontrar as raízes, teremos:

s 1,2 = - 25.000 ± 625 * 10 6 - 400 * 10 6

s 1,2 = - 25.000 ± 15.000

s 1 = - 25.000 + 15.000 = - 10.000   r a d / s

s 2 = - 25.000 - 15.000 = - 4 0.000   r a d / s

Passo 2

Para avaliarmos a resposta do circuito, basta fazermos a comparação entre os valores de α e   ω 0 :

Se α 2 > ω 0 2 , o circuito é superamortecido. Se α 2 < ω 0 2 , o circuito é subamortecido. E se α 2 = ω 0 2 , o circuito é criticamente amortecido.

Desse modo, a partir dos valores de α e ω 0 calculados no item anterior, observamos que o circuito é considerado superamortecido, uma vez que α 2 > ω 0 2 → 625 * 10 6 > 400 * 10 6

Passo 3

Para encontrarmos o valor de R pedido no item (c), devemos primeiro encontrar o valor de α , a partir da seguinte fórmula:

ω d = ω 0 2 - α 2           →               α 2 = ω 0 2 - ω d 2

Do passo 1, temos que o valor de ω 0 2 = 400 * 10 6   r a d / s . Do enunciado, temos que ω d = 12000   r a d / s . Sendo assim, substituindo na fórmula acima, temos que:

α 2 = 400 * 10 6 - 12000 2

α 2 = 256 * 10 6

α = 16.000

Ainda, sabemos que: α = 1 2 R C . Substituindo, temos:

R = 10 9 ( 32.000 ) ( 10 ) = 3125   Ω

Passo 4

Para encontrarmos o que o enunciado do item (d) pede, podemos simplesmente substituir o valor de α e de ω d   encontrados no passo anterior na seguinte fórmula:

s 1 = - α + j ω d

s 2 = - α - j ω d

Substituindo, teremos:

s 1 = - 16000 + j 12000   r a d / s

s 2 = - 16000 - j 12000   r a d / s

Passo 5

Para que haja uma resposta criticamente amortecida, α 2 = ω 0 2 . Portanto, temos que:

α = ω 0 2 = 4 * 10 4

Para encontrarmos o valor que R deve assumir, utilizaremos a seguinte fórmula:

α = 1 2 R C

Substituindo os valores de C e α , podemos encontrar o valor de R para que a resposta seja criticamente amortecida:

10 * 10 4 = 1 2 R C     →       R = 2500   Ω

Prontinho, pessoal!! Bora resolver mais uma questão juntos?

Resposta

a) s 1 = - 10.000   r a d / s ; s 2 = - 40.000   r a d / s .

b) Superamortecido.

c) R = 3125   Ω .

d) s 1 = - 16000 + j 12000   r a d / s ; s 2 = - 16000 - j 12000   r a d / s .

e) R = 2500   Ω .

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