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Enunciado

Elétrica - James W. Nilsson, Circuitos Elétricos- Ed: 10º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 3

Sabe-se que a corrente em um indutor de 50   m H   é  

i   =   120   m A ,   t ≤   0 ;  

i   =   A 1 e - 500 t   +   A 2 e - 2.000 t   A ,   t ≥   0

A tensão no indutor (convenção passiva) é 3 V em t = 0.

a) Determine a expressão para a tensão no indutor para t . 0.

b) Determine o tempo, maior do que zero, em que a potência nos terminais do indutor é nula.

Passo 1

Falaiii meus amores, cêis tão suave?

Bora pra mais uma??

Então, encostaa!!

  1. A corrente no indutor é

    2. i t = 120   m A                 p a r a     t ≤ 0 A 1 e - 500 t + A 2 e - 2000 t   A               p a r a   t ≥ 0               1

    A tensão no indutor para t > 0   é

    v t = L d i t d t

    Substituindo

    v t = 50 × 10 - 3 d d t   A 1 e - 500 t + A 2 e - 2000 t

    v t = - 25   A 1 e - 500 t - 100 A 2 e - 2000 t   V               ( 2 )

    Em t = 0 ,   v 0 = 3   V

    Substituindo a condição na expressão (2)

    v 0 = - 25   A 1 e - 500 ( 0 ) - 100 A 2 e - 2000 ( 0 )              

    3 = - 25   A 1 - 100 A 2

    25 A 1 + 100 A 2 = - 3         ( 3 )

    Em t = 0 ,   i = 120   m A

    Substituindo

    i 0 = A 1 e - 500 ( 0 ) + A 2 e - 2000 0

    120 × 10 - 3 = A 1 1 + A 2 ( 1 )

    A 1 + A 2 = 120 × 10 - 3               ( 4 )

    Passo 2

    Resolvendo as equações (3) e (4)

    A 1 = 0.2

    A 2 = - 0.08

    Substituindo

    i t = 120   m A                 p a r a     t ≤ 0 0.2 e - 500 t - 0.08 e - 2000 t   A               p a r a   t ≥ 0            

    Substituindo

    v t = - 25   A 1 e - 500 ( 0 ) - 100 A 2 e - 2000 ( 0 )              

    = - 25 0.2 e - 500 t - 100 - 0.08 e - 2000 t

    = - 5 e - 500 t + 8 e - 2000 t   V

    Portanto, a expressão para a tensão no indutor para t > 0   é

    v ( t ) = - 5 e - 500 t + 8 e - 2000 t   V

    Passo 3

  2. A potência nos terminais do indutor é

p = v i

p = ( - 5 e - 500 t + 8 e - 2000 t   ) ( 0.2 e - 500 t - 0.08 e - 2000 t )  

= - e - 1000 t + 2 e - 2500 t - 0.64 e - 4000 t

O tempo em que a potência do indutor é zero é calculado da seguinte maneira

- e - 1000 t + 2 e - 2500 t - 0.64 e - 4000 t = 0

- e - 1000 t - 2 e - 2500 t + 0.64 e - 4000 t = 0

Considerando - e - 1000 t = x

x - 2 x 2.5 + 0.64 x 4 = 0

x 1 - 2 x 2.5 + 0.64 x 3 = 0

1 - 2 x 1.5 + 0.64 x 3 = 0

Agora considerando x 1.5 = y

1 - 2 y + 0.64 y 2 = 0

0.64 y 2 - 2 y + 1 = 0

y = - - 2 ± - 2 2 - 4 0.64 1 2 0.64

As soluções da equação são

y = 5 2 , 5 8

Passo 2

Considerando y = 5 / 8 e calculando o valor de x

x 1.5 = 5 8

x = 5 8 1 1.5

x = 0.731

Como - e - 1000 t = x . Substituindo isso na expressão

- e - 1000 t = 0.731

ln ⁡ - e - 1000 t = ln ⁡ 0.731

- 1000 t = - 0.3133418

t = 0.3133418 1000

t = 313.3418   μ s

Resposta

Portanto, o tempo em que a potência nos terminais do indutor é zero é

t = 313.3418   μ s

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