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Enunciado

Elétrica - James W. Nilsson, Circuitos Elétricos- Ed: 10º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 21

Suponha que a resposta de tensão subamortecida no circuito da Figura 8.1 seja expressa por.

v t = A 1 + A 2 e - α t cos ⁡ ω d t + j A 1 + A 2 e - α t sin ⁡ ω d t

O valor inicial da corrente no indutor é I 0 , e o valor inicial da tensão no capacitor é V 0 . Mostre que A 2 é o complexo conjugado de A 1 . (Sugestão: use o mesmo processo descrito no texto para determinar A 1 e A 2 .)

Passo 1

Faaaaala, pessoal!! Bora resolver mais uma questão juntos?

Para essa questãozinha aqui, da forma da solução, temos que:

v 0 = A 1 + A 2

d v ( 0 + ) d t = - α A 1 + A 2 + j ω d ( A 1 - A 2 )

A partir disso, sabemos que tanto v ( 0 ) , quanto d v ( 0 + ) d t serão números reais. Para facilitar a álgebra, deixamos esses números serem K 1 e K 2 , respectivamente. Então, nossas duas equações simultâneas são:

K 1 = A 1 + A 2

K 2 = - α + j ω d A 1 + ( - α - j ω d ) A 2

Passo 2

Tendo em vista o passo anterior, encontraremos o determinante característico:

Δ = 1 1 - α + j ω d - α - j ω d = - j 2 ω d

Os determinantes do numerador são:

N 1 = K 1 1 K 2 - α - j ω d = - α + j ω d K 1 - K 2

N 2 = 1 K 1 - α - j ω d K 2 = K 2 + α - j ω d K 1

Os resultados acima seguem:

A 1 = N 1 Δ = ω d K 1 - j α K 1 + K 2 2 ω d

A 2 = N 2 Δ = ω d K 1 + j α K 1 + K 2 2 ω d

A partir dessas expressões acima, vemos que: A 1 = A 2 * , ou seja, que A 2 é o complexo conjugado de A 1 .

Prontinho, pessoal!! Bora resolver mais uma questão juntos?

Resposta

Resolução nos passos acima.

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