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Enunciado

Elétrica - James W. Nilsson, Circuitos Elétricos- Ed: 10º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 23

O valor inicial da tensão v no circuito da Figura 8.1 é igual a zero, e o valor inicial da corrente no capacitor, i C 0 + , é 45 mA. Sabe-se que a expressão para a corrente no capacitor é

i c t = A 1 e - 200 t + A 2 e - 800 t ,     t ≥ 0 + ,

Quando R é 250   Ω . Determine

a) os valores de α ,   ω 0 ,   L ,   C ,   A 1 e A 2

S u g e s t ã o : d i C 0 + d t = d i L 0 + d t - d i R 0 + d t = - v 0 L - 1 R   i C 0 + C

b) a expressão para v t ,   t ≥ 0 ,

c) a expressão para i R t ,   t ≥ 0 ,

d) a expressão para i L t ,   t ≥ 0 .

Passo 1

Faaaaala, pessoal!! Bora resolver mais uma questão juntos?

Para essa questãozinha aqui, no item (a), temos os valores de α ,   ω 0 ,   L ,   C ,   A 1 e A 2 são calculados da seguinte maneira:

2 α = 1000       →       α = 500   r a d / s

2 α 2 - ω 0 2 = 600           →           ω 0 = 400   r a d / s

C = 1 2 α R = 1 2 500 250 = 4   μ F

L = 1 ω 0 2 C = 1 400 2 ( 4 * 10 - 6 ) = 1,5625   H

Para A 1   e   A 2 , temos:

i C 0 + = A 1 + A 2 = 45   m A

d i C d t + d i L d t + d i R d t = 0

d i C 0 d t = - d i L 0 d t - d i R 0 d t

d i L 0 d t = 0 1,5625 = 0   A / s

d i R 0 d t = 1 R d v 0 d t = 1 R i C 0 C = 45 * 10 - 3 250 ( 4 * 10 - 6 ) = 45   A / s

d i C 0 d t = 0 - 45 = - 45   A / s

200 A 1 + 800 A 2 = 45 ,     A 1 + A 2 = 0,045

Resolvendo acima:

A 1 = - 15   m A ,     A 2 = 60   m A

i C = - 15 e - 200 t + 60 e - 800 t   m A ,     t ≥ 0 +

Passo 2

Partindo para o item (b), por hipótese, temos que:

v = A 3 e - 200 t + A 4 e - 800 t ,     t ≥ 0

v 0 = A 3 + A 4 = 0

d v 0 d t = 45 * 10 - 3 4 * 10 - 6 = 11.250   V / s

- 200 A 3 - 800 A 4 = 11.250

Resolvendo, temos que:

A 3 = 18,75   V ,     A 4 = - 18,75   V

v ( t ) = 18,75 e - 200 t - 18,75 e - 800 t   V ,     t ≥ 0

Passo 3

Para o item (c), temos que:

i R t = v R = v 250 = 75 e - 200 t - 75 e - 800 t   m A ,     t ≥ 0 +

Passo 4

Por fim, para o item (d), temos que:

i L = - i R - i C

i L = - 60 e - 200 t + 15 e - 800 t m A ,     t ≥ 0

Prontinho, pessoal!! Bora resolver mais uma questão juntos?

Resposta

a) α = 500   r a d / s ; ω 0 = 400   r a d / s ; C = 4   μ F ; L = 1,5625   H ; A 1 = - 15   m A ;   A 2 = 60   m A .

b) v ( t ) = 18,75 e - 200 t - 18,75 e - 800 t   V ,     t ≥ 0 .

c) i R t = 75 e - 200 t - 75 e - 800 t   m A ,     t ≥ 0 + .

d) i L = - 60 e - 200 t + 15 e - 800 t m A ,     t ≥ 0 .

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