Transformador Monofásico Completo

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Teoria

Até agora consideramos apenas os efeitos das resistências dos enrolamentos e do fluxo disperso. Com isso, tínhamos o modelo série abaixo:

Agora, vamos aprender os modelos completos para transformadores. Nesses modelos, consideramos todas as perdas de um transformador.

Quando consideramos todas as perdas que ocorrem em um transformador, temos o modelo abaixo:

Adicionamos ao circuito série um braço de circuito com a resistência R c em paralelo com a reatância X m . Onde:

  • R c   → Representa as perdas que ocorrem no núcleo do transformador.
  • X m → Reatância de magnetização que representa o fluxo mútuo resultante.
  • I ϕ → Corrente de excitação do circuito.

Essa combinação em paralelo de R c e X m é chamada de ramo de excitação do circuito equivalente do transformador e chamamos sua impedância de Z ϕ .

Agora, vamos dar um zoom no ramo de excitação:

Podemos decompor a corrente de excitação em duas:

I ϕ = I c + I m

Onde I c é a componente de perdas no núcleo e I m é a componente de magnetização.

Modelo T de um transformador

Quando referimos todo o circuito de um transformador para o primário ou secundário, chamamos de circuito equivalente ou modelo T . Por exemplo, dá uma olhada no circuito abaixo:

Esse é o modelo T referido ao primário do transformador. A reflexão de grandezas é exatamente igual ao que fazíamos até aqui, ou seja:

V 2 ' = α V 2 ,           I 2 ' = I 2 α ,         R 2 ' = α 2 R 2         e         X 2 ' = α 2 X 2

Modelo L de um transformador

Muitas das vezes, para facilitar os cálculos, a gente desloca o ramo de excitação do meio do circuito T para os terminais do primário ou secundário, como podemos ver nos circuitos referidos ao primário abaixo:

Onde:

R e q = R 1 + R 2 '       e       X e q = X 1 + X 2 '

Esses circuitos são chamados de modelo L do transformador.

Podemos deslocar o ramo de excitação porque em transformadores a impedância desse ramo é muito alta, fazendo com que a corrente de excitação seja muito baixa e pouco colabore para as quedas de tensão nas impedâncias do enrolamento do primário ou secundário.

Agora que a gente já conhece todos os parâmetros que o transformador possui e já vimos como calcular cada parâmetro, bora fazer um exemplo com esses dados todos:

Exemplo

Considerando um transformador 220V:120V que tem os seguintes parâmetros vistos do enrolamento de alta tensão:

X 1 = 17 0   Ω               X 2 ' = 200   Ω           X m = 500   k Ω

R 1 = 1 400   Ω           R 2 ' = 16 0   Ω         R c = 0   Ω

Calcule a tensão de secundário, caso o secundário esteja aberto e a tensão aplicada ao primário seja igual a 210V.

Passo 1:

Bom, galerinha, primeiro de tudo é desenhar esse circuito:

Nesse caso não precisamos colocar a resistência R c , pois ela é igual a zero.

Passo 2:

Nós podemos perceber que como não circula corrente pelo lado secundário, uma vez que ele está aberto, V 2 ' é igual à queda de tensão em cima do ramo de excitação:

V 2 ' =   j X m R 1 + j X 1 + j X m × V 1

Passo 3:

Vamos aplicar os valores que já nos deram:

V 2 ' =   j 500000 1400 + j 170 + j 500000 × 21 0 ∠ 0 °

V 2 ' =   500000   ∠ 9 0 ° 1400 + j 500 170 × 210 ∠ 0 °

V 2 ' =   500000   ∠ 90 ° 500171,96   ∠ 89,84 ° × 210 ∠ 0 °

V 2 ' = 0,9997 ∠ 0 , 16 ° × 210 ∠ 0 °

V 2 ' = 0,9997 ∠ 0,16 ° × 210 ∠ 0 °

V 2 ' = 209,937   ∠ 0,16 °

Passo 4:

Agora que encontramos a tensão do secundário referida ao primário, vamos refletir para o lado secundário através da relação de transformação, usando os valores nominais do transformador:

α = 220 120 = 1,833

Como V 2 ' = α V 2

Teremos:

V 2 =   V 2 ' α

V 2 =   209,937   ∠ 0,16 ° 1,833

V 2 = 114 , 72   ∠ 0,16 ° V

Prontinho, a resposta já está completa. Agora é só praticar mais!

Modelo T de um transformador

Modelo L de um transformador

Exemplo

Passo 1:

Passo 2:

Passo 3:

Passo 4:

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Um transformador monofásico de 60   H z tem uma tensão nominal de placa de 7,97   k V : 266   V a qual se baseia na relação de espiras de seus enrolamentos. O fabricante calcula que a indutância de dispersão do primário ( 7,97   k V ) seja 165   m H e a indutância de magnetização do primário seja 135   H . Para uma tensão primária de 7970   V a 60   H z , calcule a respectiva tensão de secundário em circuito aberto.

Passo 1

Com os dados fornecidos elo enunciado vamos desenhar o modelo T desse transformador referido para o primário. Mas antes, temos que encontrar as reatâncias:

X 1 = ω L 1

X 1 = 2 π 60 0,165

X 1 = 62,2   Ω

X m = 2 π 60 135

X m = 50893,8   Ω

Como nada foi dito sobre as resistências desse transformador, vamos desconsiderá-las. Logo, o circuito equivalente T com o primário sendo alimentado por uma tensão de 7970   V e o secundário em circuito aberto será:

Passo 2

Como o secundário está aberto, não tem corrente em seus enrolamentos e a tensão de seus terminais é a tensão aplicada na reatância de magnetização. Logo, aplicando divisor de tensão, temos:

V 2 ' = j 50893,8 j 50893,8 + j 62,2 × 7970

V 2 ' = 7960,3   V

Passo 3

Encontramos a tensão do secundário refletida para o primário, agora temos que usar a relação de transformação para encontrar a tensão no secundário.

α = 7970 266 = 29,96

Como V 2 ' = α V 2

Temos:

V 2 = 7960,3 29 , 96

V 2 = 265,7   V

Resposta

V 2 = 265,7   V

Exercício Resolvido #2

Um transformador monofásico de 15   k V : 175   k V ,   125   M V A e 60   H z tem impedâncias do primário e secundário de 0,0095 + j 0,063 por unidade cada. A impedância de magnetização é j 148 por unidade. Todas as grandezas são por unidade na base do transformador. Calcule as resistências do primário e do secundário, além da indutância de magnetização (referidas ao lado de baixa tensão) em ohms e henrys.

Passo 1

Como estamos trabalhando com pu, temos que encontrar o valor base das grandezas. Como o enunciado disse que todas as grandezas estão na base do transformador, escolhemos seus valores nominais como base.

Escolhendo a potência do transformador como potência base:

P b a s e = 125   M V A

Agora escolhemos um valor de tensão base para cada trecho do sistema, ou seja, para cada lado do transformador. Escolhendo as tensões nominais do transformador:

V b a s e 1 = 15   k V             e             V b a s e 2 = 175   k V

Passo 2

Com esses valores bases a gente já consegue determinar os valores base para as impedâncias do primário e secundário.

Z b a s e 1 = V b a s e 1 2 P b a s e

Z b a s e 1 = ( 15 × 10 3 ) 2 125 × 10 6

Z b a s e 1 = 1,8   Ω

Z b a s e 2 = V b a s e 2 2 P b a s e

Z b a s e 2 = ( 175 × 10 3 ) 2 125 × 10 6

Z b a s e 2 = 245   Ω

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as impedâncias referidas para o primário e secundário em ohms. Para isso, temos que multiplicar o valor em pu pelo valor base:

v a l o r   p u = v a l o r   r e a l v a l o r   b a s e       →       v a l o r   r e a l = v a l o r   p u × v a l o r   b a s e

A impedância do primário será:

Z 1 ( Ω ) = Z e q ( p u ) × Z b a s e 1

Z 1 ( Ω ) = ( 0,0095 + j 0,063 ) × 1,8  

Z 1 Ω = 0,0171 + j 0,1134   Ω

Logo, a resistência e reatância do primário, em ohms, são:

R 1 = 0,0171   Ω             e           X 1 = 0,1134   Ω  

Já a impedância do secundário será:

Z 2 ( Ω ) = Z e q ( p u ) × Z b a s e 2

Z 2 ( Ω ) = ( 0,0095 + j 0,063 ) × 245

Z 2 Ω = 2,327 + j 15,435   Ω

Logo, a resistência e reatância do secundário, em ohms, são:

R 2 = 2,327   Ω             e           X 2 = 15,435   Ω  

Passo 4

Falta calcularmos a indutância de magnetização referida ao lado de baixa. Pelo enunciado, sabemos que:

Z ϕ p u = j 148   p u

Como queremos o valor referente ao primário, vamos multiplicar o valor em pu pela impedância de base do primário.

Z ϕ ( Ω ) = j 148 × 1,8

Z ϕ Ω = j 266,4   Ω

Como podemos ver, a impedância de magnetização é formada apenas pela reatância de magnetização, ela não possui a parcela resistiva.

X m Ω = 266,4   Ω

Passo 5

Para finalizar, vamos calcular a indutância em henrys. Sabemos que

X m = ω L

Logo,

X m = ( 2 π f ) × L

266,4 = ( 2 π × 60 ) × L

L = 266,4 377

L = 0,707   H

Resposta

R 1 = 0,0171   Ω             e           X 1 = 0,1134   Ω  

R 2 = 2,327   Ω             e           X 2 = 15,435   Ω  

X m = 266,4   Ω           e               L = 0,707   H

Exercício Resolvido #3

Um transformador de potencial de 7970   V : 120   V e 60   H z tem os seguintes parâmetros, vistos do enrolamento de alta tensão (primário):

X 1 = 1721   Ω               X 2 ' = 1897   Ω           X m = 782   k Ω

R 1 = 1378   Ω           R 2 ' = 1602   Ω

( a ) Supondo que o secundário esteja em aberto e que o primário esteja conectado a uma fonte de 7,97   k V , calcule o módulo e o ângulo de fase (em relação à fonte de alta tensão) da tensão nos terminais do secundário.

b   Calcule o módulo e o ângulo de fase da tensão do secundário se uma carga resistiva de 1   k Ω for conectada aos terminais do secundário.

( c ) Repita a parte ( b ) se a carga for trocada por uma reatância de 1   k Ω .

Passo 1

Com os dados do enunciado, vamos desenhar o modelo T desse transformador referido ao primário:

Passo 2

Na letra ( a ) , uma fonte aplica uma tensão de 7,97   k V no primário e o secundário está aberto.

Queremos encontrar o módulo e o ângulo da tensão no secundário, tomando a tensão no primário como referência, ou seja:

V 1 = 7970 ∠ 0 °   V

Como o secundário está aberto, não há circulação de corrente no secundário e a sua tensão é a aplicada na reatância de magnetização. Então, utilizando divisor de tensão:

V 2 ' = j 782000 1378 + j 1721 + j 782000 × 7970 ∠ 0 °

V 2 ' = 782000 ∠ 90 ° 1378 + j 783721 × 7970 ∠ 0 °

V 2 ' = 782000 ∠ 90 ° 783722,2 ∠ 89,9 ° × 7970 ∠ 0 °

V 2 ' = 0,998 ∠ 0,1 × 7970 ∠ 0 °

V 2 ' = 7954 ∠ 0,1 °   V

Passo 3

Encontramos a tensão do secundário refletida para o primário, agora temos que usar a relação de transformação para encontrar a tensão no secundário.

α = 7970 120 = 66,4

Como V 2 ' = α V 2

Temos:

V 2 = 7954 ∠ 0,1 ° 66,4

V 2 = 119,8 ∠ 0,1 °   V

Passo 4

Na letra ( b ) , continuamos aplicando a mesma tensão no primário, mas conectamos uma resistência de 1   k Ω , no secundário.

R L = 1000   Ω

Como estamos trabalhando com o modelo referente ao primário, temos que refletir essa resistência para o primário:

R L ' = α 2 R L

R L ' = 66,4 2 × 1000

R L ' = 4408960   Ω

R L ' = 4 , 41   M Ω

Então, temos o seguinte circuito equivalente série referido ao primário.

Passo 5

Há várias formas de resolvermos esse circuito. Primeiro, vamos calcular a impedância equivalente do circuito.

Z e q = 1378 + j 1721 + j 782000 1602 + j 1897 + 4,41 × 10 6

Z e q = 1378 + j 1721 + j 782000 × 4411602 + j 1897 j 782000 + 4411602 + j 1897  

Z e q = 1378 + j 1721 + 3,45 × 10 12 ∠ 90,02 ° 4411602 + j 783897

Z e q = 1378 + j 1721 + 769939,6 ∠ 79,95 °

Z e q = 1378 + j 1721 + ( 134374,5 + j 758123 )

Z e q = 135752,5 + j 759844   Ω

Z e q = 771875,4 ∠ 79,87 °   Ω

Agora, vamos calcular a corrente I 1 :

I 1 = V 1 Z e q

I 1 = 7970 ∠ 0 ° 771875,4 ∠ 79,87 °

I 1 = 0,0103 ∠ - 79,87 °   A

Passo 6

Aplicando divisor de corrente, podemos calcular a corrente que passa pela carga:

I 2 ' = j 782000 1602 + j 1897 + 4,41 × 10 6 + j 782000 × I 1

I 2 ' = j 782000 4411602 + j 783897 × 0,0103 ∠ - 79,87 °

I 2 ' = 782000 ∠ 90 ° 4480706 ∠ 10,07 ° × 0,0103 ∠ - 79,87 °

I 2 ' = 0,175 ∠ 79,92 ° × 0,0103 ∠ - 79,87 °

I 2 ' = 0,001798 ∠ 0,054 °   A

Encontramos a corrente do secundário refletida para o primário, agora temos que usar a relação de transformação para encontrar a corrente no secundário.

Como,

I 2 ' = I 2 α

Logo,

I 2 = ( 0,001798 ∠ 0,054 °   ) × 66,4

I 2 = 0,1194 ∠ 0,054 °   A

Agora que temos a corrente que passa pela carga resistiva, vamos aplicar a lei de ohm e encontrar a tensão no secundário.

V 2 = R L I 2

V 2 = 1000 × 0,1194 ∠ 0,054 °

V 2 = 119,4 ∠ 0,054 °   V

Passo 7

Na letra ( c ) , o procedimento é exatamente igual, a única coisa que vai mudar é que agora a carga é uma reatância de 1   k Ω .

Calculando a impedância equivalente do circuito:

Z e q = 1378 + j 1721 + j 782000 1602 + j 1897 + j 4,41 × 10 6

Z e q = 1378 + j 1721 + j 782000 × 1602 + j 4411897 j 782000 + 1602 + j 4411897  

Z e q = 1378 + j 1721 + 3,45 × 10 12 ∠ 179,98 ° 5193897,25 ∠ 89,98 °

Z e q = 1378 + j 1721 + 664241,1 ∠ 9 0 °

Z e q = 1378 + j 1721 + j 664240,1

Z e q = 1378 + j 665961,1   Ω

Z e q = 665962,5 ∠ 89,8 8 °   Ω

Agora, vamos calcular a corrente I 1 :

I 1 = V 1 Z e q

I 1 = 7970 ∠ 0 ° 665962 , 5 ∠ 89,8 8 °

I 1 = 0,01197 ∠ - 89,8 8 °   A

Passo 8

Aplicando divisor de corrente, podemos calcular a corrente que passa pela carga:

I 2 ' = j 782000 1602 + j 1897 + j 4,41 × 10 6 + j 782000 × I 1

I 2 ' = j 782000 5193897,25 ∠ 89,98 ° × 0,01197 ∠ - 89,88 °

I 2 ' = 0,1 5 ∠ 0,0 2 ° × 0,01197 ∠ - 89,88 °

I 2 ' = 0,0018 ∠ - 89,86 °   A

Encontramos a corrente do secundário refletida para o primário, agora temos que usar a relação de transformação para encontrar a corrente no secundário.

Como,

I 2 ' = I 2 α

Logo,

I 2 = ( 0,00 18 ∠ - 89,8 6 °   ) × 66,4

I 2 = 0,1195 ∠ - 89 , 8 6 °   A

Agora que temos a corrente que passa pela carga resistiva, vamos aplicar a lei de ohm e encontrar a tensão no secundário.

V 2 = X L I 2

V 2 = j 1000 × 0,1195 ∠ - 89 , 8 6 °  

V 2 = 119,5 ∠ 0,1 4 °   V

Resposta

a   V 2 = 119,8 ∠ 0,1 °   V

b   V 2 = 119,4 ∠ 0,054 °   V

c   V 2 = 119,5 ∠ 0,14 °   V

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(a) Calcule v 1 e v 2 . se L 1 = 2 H , L 2 = 5 H , M = 3 H , i 1 = 5 s e n ⁡ 2 t A e i 2 = - 3 c o s ⁡ 4 tA . (b) Calcule v 2 , se o secundário está em vazio.
Calcule v , para t0 , no secundário em vazio, s c i_g = 8 u ( t )
Calcule as correntes i_1 ( t ) e i_2 ( t ) em regime permanente, se omega = 2 r a d // s .
Calcule a corrente em regime permanente i 1 no Prob. 16.8. usando a impedância refletida.
Calcule i para t0 , se i ( 0 ) = 0 e v ( 0 ) = 4 V .