Os termômetros de mercúrio indicam a temperatura pela medida da expansão volumétrica de uma massa fixa de mercúrio líquido. A expansão volumétrica é em virtude de variação da massa específica do mercúrio com a temperatura. Determine a variação percentual do volume ocupado pelo mercúrio quando a temperatura varia de para . Admita que a massa específica do mercúrio varie com a temperatura de acordo com:
onde está em .
Passo 1
O exercício quer saber a variação percentual de volume do mercúrio depois que ele aumenta de temperatura. Ou seja, temos que calcular:
onde:
- é a variação percentual de volume de mercúrio;
- é o volume de mercúrio, quando ele está a ;
- é o volume de mercúrio, quando ele está a .
Mas como podemos calcular cada volume? Reorganizando as fórmulas de massa específica:
sendo:
- , a massa específica do mercúrio, quando ele está a ;
- , a massa específica do mercúrio, quando ele está a ;
- , a massa de mercúrio.
Perceba que a massa de mercúrio não muda, quando ele expande! Isso é importantíssimo de ser notado, porque permite que a gente corte essa variável, quando formos calcular a variação relativa de volume .
Outro fato importante de ser observado é que as massas específicas são dadas indiretamente pelo enunciado a partir das equações:
onde:
- é a temperatura do mercúrio antes da sua expansão. Ela vale segundo o enunciado;
- é a temperatura do mercúrio depois da sua expansão. Ela vale segundo o enunciado.
Agora temos todas as informações necessárias para iniciarmos os cálculos, substituindo os dados.
Passo 2
Iniciamos os cálculos com a substituição dos valores de temperatura para achar as massas específicas:
Agora usamos os valores encontrados na fórmula dos volumes para encontrá-los em função da massa de mercúrio .
Substituindo essas expressões na fórmula de variação percentual de volume, temos:
Rearranjando a fração, achamos: