[1] Em cada item isole pelo menos uma das raízes da equação, ou seja, encontre um intervalo finito contendo uma raiz.
a) 4 cos (x)-e^2 x=0 ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício juntos! A gente precisa achar um intervalo finito onde a equação tem pelo menos uma raiz. Para isso, vamos usar conceitos de funções contínuas e o Teorema do Valor Intermediário, que nos ajuda a encontrar intervalos onde a função muda de sinal, indicando que tem uma raiz nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a função . Nosso objetivo é encontrar dois valores de , digamos e , onde e tenham sinais opostos (um positivo e outro negativo). Isso, pelo Teorema do Valor Intermediário, garante que existe pelo menos uma raiz entre e .

Passo 3

Vamos começar calculando f(0) = 4 cos(0) - e^2 times 0 = 4 times 1 - 1 = 4 - 1 = 3 :
Então, , que é positivo.

Passo 4

Agora, vamos calcular f(1) = 4 cos(1) - e^2 times 1 approx 4 times 0,5403 - e^2 approx 2,1612 - 7,3891 approx -5,2279 :
Então, , que é negativo.

Passo 5

Observamos que é positivo e é negativo. Como a função é contínua nesse intervalo (já que e são funções contínuas), pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos uma raiz entre e .

Resposta

Portanto, a equação tem pelo menos uma raiz no intervalo .

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