Quantos inteiros n positivos satisfazem a inequação abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem essa inequação aqui:
O que precisamos descobrir é quantos números inteiros positivos
satisfazem essa desigualdade. Para resolver isso, vamos precisar manipular a inequação para encontrar os valores possíveis de
.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a fração:
Então, nossa inequação fica:
Passo 3
Agora, vamos trazer todos os termos para um lado da inequação para facilitar a resolução:
Simplificando:
Passo 4
Para resolver essa inequação, vamos multiplicar ambos os lados por
(lembre-se que
é positivo, então a direção da inequação não muda):
Expandindo:
Passo 5
Agora, temos uma inequação quadrática:
Vamos encontrar as raízes dessa equação quadrática para determinar o intervalo onde a inequação é verdadeira. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Calculando o discriminante:
A raiz quadrada de 10201 é 101, então:
Isso nos dá duas soluções:
Passo 6
Com as raízes encontradas (
e
), sabemos que a inequação quadrática será negativa entre essas duas raízes, já que o coeficiente de
é positivo.
Então, a solução da inequação é:
Passo 7
Como estamos procurando apenas números inteiros positivos que satisfazem a inequação, precisamos contar os inteiros entre 2 e 103.
Mas atenção! A inequação é estritamente menor que, então
não pode ser igual a 2 nem a 103.
Portanto, os valores possíveis de
são de 3 a 102, inclusive.
Resposta
Existem 100 números inteiros positivos que satisfazem a inequação
.
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Determine os zeros da função
Prove que
, para todo natural
. (Dica: basta mostrar que
).
Sendo
, onde a e
são diferentes de zero. Determine
valor da expressão abaixo:
[1] Em cada item isole pelo menos uma das raízes da equação, ou seja, encontre um intervalo finito contendo uma raiz.
a)
a)