Quantos inteiros n positivos satisfazem a inequação abaixo:
n^2+206n<105

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem essa inequação aqui:
n^2+206n < 105
O que precisamos descobrir é quantos números inteiros positivos satisfazem essa desigualdade. Para resolver isso, vamos precisar manipular a inequação para encontrar os valores possíveis de .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração:
n^2+206n = n + 206n
Então, nossa inequação fica:
n + 206n < 105

Passo 3

Agora, vamos trazer todos os termos para um lado da inequação para facilitar a resolução:
n + 206n - 105 < 0
Simplificando:
n - 105 + 206n < 0

Passo 4

Para resolver essa inequação, vamos multiplicar ambos os lados por n(n - 105) + 206 < 0 (lembre-se que n^2 - 105n + 206 < 0 é positivo, então a direção da inequação não muda):
Expandindo:

Passo 5

Agora, temos uma inequação quadrática:
n^2 - 105n + 206 < 0
Vamos encontrar as raízes dessa equação quadrática para determinar o intervalo onde a inequação é verdadeira. Usamos a fórmula de Bhaskara:
n = 105 pm raiz105^2 - 4 cdot 1 cdot 2062
Calculando o discriminante:
De
A raiz quadrada de 10201 é 101, então:
n = 105 pm 1012
Isso nos dá duas soluções:

Passo 6

Com as raízes encontradas ( 2 < n < 103 e ), sabemos que a inequação quadrática será negativa entre essas duas raízes, já que o coeficiente de é positivo.
Então, a solução da inequação é:

Passo 7

Como estamos procurando apenas números inteiros positivos que satisfazem a inequação, precisamos contar os inteiros entre 2 e 103.
Mas atenção! A inequação é estritamente menor que, então não pode ser igual a 2 nem a 103.
Portanto, os valores possíveis de são de 3 a 102, inclusive.

Resposta

Existem 100 números inteiros positivos que satisfazem a inequação .

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