[1] Em cada item isole pelo menos uma das raízes da equação, ou seja, encontre um intervalo finito contendo uma raiz.
b) ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma equação . Nosso objetivo é encontrar pelo menos um intervalo finito onde essa equação tenha uma raiz, ou seja, um valor de que satisfaça a equação. Para isso, vamos usar conceitos de funções e propriedades dos intervalos para isolar onde a solução pode estar.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar nosso trabalho:
Isso significa que estamos procurando valores de onde a função linear cruza a função .

Passo 3

Vamos analisar o comportamento das duas funções:
  1. Função Linear : É uma linha reta que passa pela origem e aumenta continuamente conforme aumenta.
  2. Função : Essa função tem assíntotas verticais em , onde é um inteiro, e é periódica com período . Entre cada par de assíntotas, a função varia de a .

Passo 4

Para encontrar um intervalo onde as duas funções se cruzam, vamos observar onde e têm valores opostos em extremos de um intervalo. Se a função muda de sinal dentro desse intervalo, pelo Teorema do Valor Intermediário, há pelo menos uma raiz ali.

Passo 5

Vamos testar o intervalo entre e :
  • Em : Portanto, .
No entanto, queremos um intervalo onde a função muda de sinal, então vamos escolher um pouco mais acima de 0.

Passo 6

Vamos escolher :
  • Em : Então, O valor é negativo.
E em :
  • Em : Então, Ainda negativo. Precisamos achar onde a função muda de sinal.

Passo 7

Vamos tentar :
  • Em : Então, Ainda negativo. Vamos acima de até

Passo 8

Escolhamos (bem próximo de pela esquerda):
  • Quando se aproxima de : Então,
O que nos diz que, à medida que nos aproximamos de , a função fica muito negativa. Talvez precisamos olhar para valores menores.

Passo 9

Vamos tentar um valor negativo, por exemplo, :
  • Em : Então, O valor é positivo.
E em :
Aqui temos uma mudança de sinal de positivo para zero, indicando que há uma raiz entre e .

Resposta

A equação possui uma raiz no intervalo .

Exercícios relacionados

[2] Use o método da bisseç̧ão para encontrar a raiz da função no intervalo [0,1] com precisão . Use 4 casas depois da vírgula e arredondamento.
[1] Em cada item isole pelo menos uma das raízes da equação, ou seja, encontre um intervalo finito contendo uma raiz.
a)
[2] Estime o número de iterações do método da bissecção suficiente para encontrar a raiz da função no intervalo com precisão .
(1) Considere e dois números reais .
a) Reescreva o problema de calcular como o problema de encontrar o zero de uma função .