[1] Em cada item isole pelo menos uma das raízes da equação, ou seja, encontre um intervalo finito contendo uma raiz.
b)
;
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma equação
. Nosso objetivo é encontrar pelo menos um intervalo finito onde essa equação tenha uma raiz, ou seja, um valor de
que satisfaça a equação. Para isso, vamos usar conceitos de funções e propriedades dos intervalos para isolar onde a solução pode estar.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar nosso trabalho:
Isso significa que estamos procurando valores de
onde a função linear
cruza a função
.
Passo 3
Vamos analisar o comportamento das duas funções:
- Função Linear
: É uma linha reta que passa pela origem e aumenta continuamente conforme aumenta. - Função
: Essa função tem assíntotas verticais em , onde é um inteiro, e é periódica com período . Entre cada par de assíntotas, a função varia de a .
Passo 4
Para encontrar um intervalo onde as duas funções se cruzam, vamos observar onde
e
têm valores opostos em extremos de um intervalo. Se a função muda de sinal dentro desse intervalo, pelo Teorema do Valor Intermediário, há pelo menos uma raiz ali.
Passo 5
Vamos testar o intervalo entre
e
:
- Em
: Portanto, .
No entanto, queremos um intervalo onde a função muda de sinal, então vamos escolher um pouco mais acima de 0.
Passo 6
Vamos escolher
:
- Em
: Então, O valor é negativo.
E em
:
- Em
: Então, Ainda negativo. Precisamos achar onde a função muda de sinal.
Passo 7
Vamos tentar
:
- Em
: Então, Ainda negativo. Vamos acima de até
Passo 8
Escolhamos
(bem próximo de
pela esquerda):
- Quando
se aproxima de : Então,
O que nos diz que, à medida que nos aproximamos de
, a função fica muito negativa. Talvez precisamos olhar para valores menores.
Passo 9
Vamos tentar um valor negativo, por exemplo,
:
- Em
: Então, O valor é positivo.
E em
:
Aqui temos uma mudança de sinal de positivo para zero, indicando que há uma raiz entre
e
.
Resposta
A equação
possui uma raiz no intervalo
.
Exercícios relacionados
[2] Use o método da bisseç̧ão para encontrar a raiz da função
no intervalo [0,1] com precisão
. Use 4 casas depois da vírgula e arredondamento.
[1] Em cada item isole pelo menos uma das raízes da equação, ou seja, encontre um intervalo finito contendo uma raiz.
a)
a)
[2] Estime o número de iterações
do método da bissecção suficiente para encontrar a raiz da função
no intervalo
com precisão
.
(1) Considere
e
dois números reais
.
a) Reescreva o problema de calcular como o problema de encontrar o zero de uma função
.
a) Reescreva o problema de calcular