[1] Em cada item isole pelo menos uma das raízes da equação, ou seja, encontre um intervalo finito contendo uma raiz.
b) x2-tan (x)=0;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma equação . Nosso objetivo é encontrar pelo menos um intervalo finito onde essa equação tenha uma raiz, ou seja, um valor de que satisfaça a equação. Para isso, vamos usar conceitos de funções e propriedades dos intervalos para isolar onde a solução pode estar.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar nosso trabalho:
x2 = tan(x)
Isso significa que estamos procurando valores de onde a função linear cruza a função .

Passo 3

Vamos analisar o comportamento das duas funções:
  1. Função Linear : É uma linha reta que passa pela origem e aumenta continuamente conforme aumenta.
  2. Função : Essa função tem assíntotas verticais em , onde é um inteiro, e é periódica com período . Entre cada par de assíntotas, a função varia de a .

Passo 4

Para encontrar um intervalo onde as duas funções se cruzam, vamos observar onde e têm valores opostos em extremos de um intervalo. Se a função muda de sinal dentro desse intervalo, pelo Teorema do Valor Intermediário, há pelo menos uma raiz ali.

Passo 5

Vamos testar o intervalo entre 02 = 0 e tan(0) = 0 e :
  • Em : Portanto, .
No entanto, queremos um intervalo onde a função muda de sinal, então vamos escolher um pouco mais acima de 0.

Passo 6

Vamos escolher pi42 = pi8 approx 0,3927 :
  • Em tan(pi4) = 1 : pi8 - 1 approx 0,3927 - 1 = -0,6073 12 = 0,5 Então, tan(1) approx 1,5574 O valor é negativo.
E em 0,5 - 1,5574 approx -1,0574 :
  • Em : Então, Ainda negativo. Precisamos achar onde a função muda de sinal.

Passo 7

Vamos tentar pi32 = pi6 approx 0,5236 :
  • Em tan(pi3) = raiz3 approx 1,732 : 0,5236 - 1,732 approx -1,2084 Então, Ainda negativo. Vamos acima de até

Passo 8

Escolhamos tan(x) +infty (bem próximo de x2 pi4 approx 0,7854 pela esquerda):
  • Quando x2 - tan(x) -infty se aproxima de : Então,
O que nos diz que, à medida que nos aproximamos de , a função fica muito negativa. Talvez precisamos olhar para valores menores.

Passo 9

Vamos tentar um valor negativo, por exemplo, -pi42 = -pi8 approx -0,3927 :
  • Em tan(-pi4) = -1 : -0,3927 - (-1) = 0,6073 0 - 0 = 0 Então, O valor é positivo.
E em :
Aqui temos uma mudança de sinal de positivo para zero, indicando que há uma raiz entre e .

Resposta

A equação possui uma raiz no intervalo .

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