[2] Estime o número de iterações do método da bissecção suficiente para encontrar a raiz da função no intervalo com precisão .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o método da bissecção. Basicamente, a gente precisa descobrir quantas vezes a gente precisa dividir o intervalo ao meio para encontrar a raiz da função com uma precisão de . Isso envolve entender um pouco de cálculo numérico, especificamente sobre como o método da bissecção funciona para encontrar raízes de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como o método da bissecção funciona. A ideia é dividir o intervalo em duas metades e ver em qual delas a função muda de sinal, ou seja, onde ela passa de positiva para negativa ou vice-versa. Isso garante que tem pelo menos uma raiz nesse subintervalo. A cada divisão, a gente reduz o tamanho do intervalo pela metade, aproximando a raiz com mais precisão.

Passo 3

Agora, para saber quantas vezes precisamos dividir o intervalo para alcançar a precisão desejada, usamos a seguinte fórmula:
Onde:
  • é o número de iterações (quantas vezes a gente vai dividir o intervalo),
  • e são os limites do intervalo inicial,
  • é a precisão desejada,
  • é o logaritmo natural.

Passo 4

Vamos substituir os valores na fórmula:
  • ,
  • ,
  • .
Então, temos:
Simplificando:
Sabemos que , então:

Resposta

Portanto, precisamos de 14 iterações do método da bissecção para encontrar a raiz da função no intervalo com precisão de .

Exercícios relacionados

[1] Em cada item isole pelo menos uma das raízes da equação, ou seja, encontre um intervalo finito contendo uma raiz.
b) ;
[2] Use o método da bisseç̧ão para encontrar a raiz da função no intervalo [0,1] com precisão . Use 4 casas depois da vírgula e arredondamento.
(1) Considere e dois números reais .
a) Reescreva o problema de calcular como o problema de encontrar o zero de uma função .
[2] Considere o problema de encontrar um zero da função no intervalo [1, 2] usando o método do ponto fixo.
a) Por que não podemos utilizar como função de iteração com garantia de convergência?