[2] Estime o número de iterações
do método da bissecção suficiente para encontrar a raiz da função
no intervalo
com precisão
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o método da bissecção. Basicamente, a gente precisa descobrir quantas vezes a gente precisa dividir o intervalo
ao meio para encontrar a raiz da função
com uma precisão de
. Isso envolve entender um pouco de cálculo numérico, especificamente sobre como o método da bissecção funciona para encontrar raízes de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como o método da bissecção funciona. A ideia é dividir o intervalo em duas metades e ver em qual delas a função muda de sinal, ou seja, onde ela passa de positiva para negativa ou vice-versa. Isso garante que tem pelo menos uma raiz nesse subintervalo. A cada divisão, a gente reduz o tamanho do intervalo pela metade, aproximando a raiz com mais precisão.
Passo 3
Agora, para saber quantas vezes precisamos dividir o intervalo para alcançar a precisão desejada, usamos a seguinte fórmula:
Onde:
-
é o número de iterações (quantas vezes a gente vai dividir o intervalo), -
e são os limites do intervalo inicial, -
é a precisão desejada, -
é o logaritmo natural.
Passo 4
Vamos substituir os valores na fórmula:
-
, -
, -
.
Então, temos:
Simplificando:
Sabemos que
, então:
Resposta
Portanto, precisamos de 14 iterações do método da bissecção para encontrar a raiz da função
no intervalo
com precisão de
.
Exercícios relacionados
[1] Em cada item isole pelo menos uma das raízes da equação, ou seja, encontre um intervalo finito contendo uma raiz.
b) ;
b)
[2] Use o método da bisseç̧ão para encontrar a raiz da função
no intervalo [0,1] com precisão
. Use 4 casas depois da vírgula e arredondamento.
(1) Considere
e
dois números reais
.
a) Reescreva o problema de calcular como o problema de encontrar o zero de uma função
.
a) Reescreva o problema de calcular
[2] Considere o problema de encontrar um zero da função
no intervalo [1, 2] usando o método do ponto fixo.
a) Por que não podemos utilizar como função de iteração com garantia de convergência?
a) Por que não podemos utilizar