[2] Estime o número de iterações k do método da bissecção suficiente para encontrar a raiz da função f(x)=x^3-x-1 no intervalo [1,2] com precisão 10^-4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o método da bissecção. Basicamente, a gente precisa descobrir quantas vezes a gente precisa dividir o intervalo ao meio para encontrar a raiz da função com uma precisão de . Isso envolve entender um pouco de cálculo numérico, especificamente sobre como o método da bissecção funciona para encontrar raízes de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como o método da bissecção funciona. A ideia é dividir o intervalo em duas metades e ver em qual delas a função muda de sinal, ou seja, onde ela passa de positiva para negativa ou vice-versa. Isso garante que tem pelo menos uma raiz nesse subintervalo. A cada divisão, a gente reduz o tamanho do intervalo pela metade, aproximando a raiz com mais precisão.

Passo 3

Agora, para saber quantas vezes precisamos dividir o intervalo para alcançar a precisão desejada, usamos a seguinte fórmula:
k >= ln(b - a) - ln(epsilon)ln(2)
Onde:
  • é o número de iterações (quantas vezes a gente vai dividir o intervalo),
  • e são os limites do intervalo inicial,
  • é a precisão desejada,
  • é o logaritmo natural.

Passo 4

Vamos substituir os valores na fórmula:
  • k >= ln(2 - 1) - ln(10^-4)ln(2) ,
  • k >= ln(1) - ln(10^-4)ln(2) ,
  • k >= 0 - (-9.21034)0.6931 approx 9.210340.6931 approx 13.2877 .
Então, temos:
Simplificando:
Sabemos que , então:

Resposta

Portanto, precisamos de 14 iterações do método da bissecção para encontrar a raiz da função no intervalo com precisão de .

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