[1] O conjunto de dados abaixo define a concentração de oxigênio dissolvido na água do mar, em função da temperatura
0.0 8.0 16.0 24.0
14.621 11.843 9.870 8.418
A partir da aproximação por spline quadrática apresente a equação da spline para o trecho 3 e o valor encontrado no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma tabela com a concentração de oxigênio dissolvido em função da temperatura da água do mar. O que a gente precisa fazer é usar uma técnica chamada spline quadrática para aproximar essa relação, focando no terceiro intervalo (entre 16°C e 24°C). Além disso, vamos calcular o valor de oxigênio quando a temperatura é 17°C usando essa spline.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma spline quadrática. Basicamente, uma spline é uma função que conecta pontos de dados de maneira suave. A spline quadrática usa polinômios de segundo grau para fazer essas conexões entre os pontos.

Passo 3

Agora, vamos focar no trecho 3, que é entre T = 16°C e T = 24°C. Os pontos nesse intervalo são:
  • (16, 9.870)
  • (24, 8.418)
Mas para construir a spline quadrática, precisamos de um ponto a mais para garantir que o polinômio seja bem definido. Vamos usar também o ponto anterior, que é (8, 11.843).

Passo 4

Vamos assumir que a equação da spline quadrática tem a forma:
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes , , e que satisfazem os pontos dados.

Passo 5

Substituindo os pontos na equação:
  1. Para T = 8°C, O = 11.843:
  1. Para T = 16°C, O = 9.870:
  1. Para T = 24°C, O = 8.418:

Passo 6

Agora temos um sistema de três equações com três incógnitas:
Vamos resolver esse sistema para encontrar , e .

Passo 7

Subtraindo a primeira equação da segunda:
Dividindo por 8:
(Equação A)
Subtraindo a segunda equação da terceira:
Dividindo por 8:
(Equação B)

Passo 8

Agora, vamos subtrair a Equação A da Equação B:

Passo 9

Com o valor de , vamos encontrar usando a Equação A:

Passo 10

Agora, vamos encontrar usando a primeira equação original:

Passo 11

Então, a equação da spline quadrática para o trecho 3 é:

Passo 12

Agora, vamos calcular o valor de quando T = 17°C:

Resposta

A equação da spline quadrática para o trecho 3 é:
E o valor de oxigênio dissolvido em 17°C é aproximadamente 9.6706 mg/L.

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Para cada conjunto de dados apresentados nos itens abaixo, considere a aproximação por spline quadrática para apresentar as matrizes do sistema
sendo,
A : matriz de coeficientes
: matriz de parâmetros das funções quadráticas
b : valores de
b)
1.0 2.0 3.0 5.0
3.0 6.0 19.0 99.0
[2] Aplique a regra do trapézio com diferentes valores de para calcular
Para cada conjunto de dados apresentados nos itens abaixo, considere a aproximação por spline quadrática para apresentar as matrizes do sistema
sendo,
A : matriz de coeficientes
: matriz de parâmetros das funções quadráticas
b : valores de
a)