[1] O conjunto de dados abaixo define a concentração de oxigênio dissolvido na água do mar, em função da temperatura
0.0
8.0
16.0
24.0
14.621
11.843
9.870
8.418
A partir da aproximação por spline quadrática apresente a equação da spline para o trecho 3 e o valor encontrado no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma tabela com a concentração de oxigênio dissolvido em função da temperatura da água do mar. O que a gente precisa fazer é usar uma técnica chamada spline quadrática para aproximar essa relação, focando no terceiro intervalo (entre 16°C e 24°C). Além disso, vamos calcular o valor de oxigênio quando a temperatura é 17°C usando essa spline.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma spline quadrática. Basicamente, uma spline é uma função que conecta pontos de dados de maneira suave. A spline quadrática usa polinômios de segundo grau para fazer essas conexões entre os pontos.
Passo 3
Agora, vamos focar no trecho 3, que é entre T = 16°C e T = 24°C. Os pontos nesse intervalo são:
(16, 9.870)
(24, 8.418)
Mas para construir a spline quadrática, precisamos de um ponto a mais para garantir que o polinômio seja bem definido. Vamos usar também o ponto anterior, que é (8, 11.843).
Passo 4
Vamos assumir que a equação da spline quadrática tem a forma:
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes , , e que satisfazem os pontos dados.
Passo 5
Substituindo os pontos na equação:
Para T = 8°C, O = 11.843:
Para T = 16°C, O = 9.870:
Para T = 24°C, O = 8.418:
Passo 6
Agora temos um sistema de três equações com três incógnitas:
Vamos resolver esse sistema para encontrar , e .
Passo 7
Subtraindo a primeira equação da segunda:
(256a + 16b + c) - (64a + 8b + c) = 9.870 - 11.843
192a + 8b = -1.973
Dividindo por 8:
24a + b = -0.2466 (Equação A)
Subtraindo a segunda equação da terceira:
(576a + 24b + c) - (256a + 16b + c) = 8.418 - 9.870
320a + 8b = -1.452
Dividindo por 8:
40a + b = -0.1815 (Equação B)
Passo 8
Agora, vamos subtrair a Equação A da Equação B:
(40a + b) - (24a + b) = -0.1815 - (-0.2466)
16a = 0.0651
a = 0.0651 / 16
a approx 0.00406875
Passo 9
Com o valor de 24(0.00406875) + b = -0.2466 , vamos encontrar 0.09765 + b = -0.2466 usando a Equação A:
b = -0.2466 - 0.09765
b approx -0.34425
Passo 10
Agora, vamos encontrar 64(0.00406875) + 8(-0.34425) + c = 11.843 usando a primeira equação original:
0.2604 - 2.754 + c = 11.843
c = 11.843 - 0.2604 + 2.754
c approx 14.337
Passo 11
Então, a equação da spline quadrática para o trecho 3 é:
O(T) = 0.00406875T^2 - 0.34425T + 14.337
Passo 12
Agora, vamos calcular o valor de O(17) = 0.00406875(17)^2 - 0.34425(17) + 14.337 quando T = 17°C:
O(17) = 0.00406875(289) - 5.84125 + 14.337
O(17) = 1.17384375 - 5.84125 + 14.337
O(17) approx 9.6706 , mg/L
Resposta
A equação da spline quadrática para o trecho 3 é:
O(T) = 0.00406875T^2 - 0.34425T + 14.337
E o valor de oxigênio dissolvido em 17°C é aproximadamente 9.6706 mg/L.