Para cada conjunto de dados apresentados nos itens abaixo, considere a aproximação por spline quadrática para apresentar as matrizes do sistema
A x=b
sendo,
A : matriz de coeficientes
x : matriz de parâmetros das funções quadráticas (a1, b1, c1 ; a2, b2, c2 ; ldots)
b : valores de f(x)
a) [1]
c|cccc x & 1.6 & 2.0 & 2.5 & 3.2 hline f(x) & 2.0 & 8.0 & 14.0 & 15

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para a gente encontrar as matrizes do sistema usando uma aproximação por spline quadrática para o conjunto de dados fornecido. A matéria envolvida aqui é a interpolação por splines, especificamente usando funções quadráticas. Para isso, vamos precisar entender como montar as equações que definem os splines quadráticos que passam pelos pontos dados e garantem que a transição entre eles seja suave.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma spline quadrática. É uma função composta por segmentos quadráticos que se juntam de forma suave nos pontos de divisão (nodos). Cada segmento tem a forma , onde , e são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

Temos 4 pontos dados:
c|cccc x & 1.6 & 2.0 & 2.5 & 3.2 hline f(x) & 2.0 & 8.0 & 14.0 & 15.0
Como são 4 pontos, teremos 3 segmentos de spline quadrática ( ).

Passo 4

Cada spline precisa passar por dois pontos consecutivos e ter continuidade na primeira derivada nos pontos internos. Então, para 3 splines, temos:

Passo 5

Além disso, precisamos garantir que as derivadas dos splines se igualem nos pontos internos (continuidade da primeira derivada):

Passo 6

Agora, vamos traduzir essas condições em equações. Cada equação vai se basear nos coeficientes a1 (1.6)^2 + b1 (1.6) + c1 = 2.0 , e dos splines.
Por exemplo, para :
Fazendo isso para todas as condições, teremos um sistema de 8 equações.

Passo 7

Organizando essas equações na forma matricial , onde é o vetor dos coeficientes , a matriz será uma matriz de coeficientes das incógnitas e será o vetor dos termos constantes.

Passo 8

Finalmente, montamos a matriz A = 1.6^2 & 1.6 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 2.0^2 & 2.0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 2.0^2 & 2.0 & 1 & 0 & 0 & 0 2.5^2 & 2.5 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 2.5^2 & 2.5 & 1 & 0 & 0 & 0 3.2^2 & 3.2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 , b = 2.0 8.0 8.0 14.0 14.0 15.0 e o vetor com base nas equações obtidas:

Resposta

As matrizes do sistema são:
A = 2.56 & 1.6 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 4.00 & 2.0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 4.00 & 2.0 & 1 & 0 & 0 & 0 6.25 & 2.5 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 6.25 & 2.5 & 1 & 0 & 0 & 0 10.24 & 3.2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 , b = 2.0 8.0 8.0 14.0 14.0 15.0

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