Para cada conjunto de dados apresentados nos itens abaixo, considere a aproximação por spline quadrática para apresentar as matrizes do sistema
sendo,
A : matriz de coeficientes
: matriz de parâmetros das funções quadráticas
b : valores de
a)
A : matriz de coeficientes
b : valores de
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para a gente encontrar as matrizes do sistema
usando uma aproximação por spline quadrática para o conjunto de dados fornecido. A matéria envolvida aqui é a interpolação por splines, especificamente usando funções quadráticas. Para isso, vamos precisar entender como montar as equações que definem os splines quadráticos que passam pelos pontos dados e garantem que a transição entre eles seja suave.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma spline quadrática. É uma função composta por segmentos quadráticos que se juntam de forma suave nos pontos de divisão (nodos). Cada segmento
tem a forma
, onde
,
e
são os coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 3
Temos 4 pontos dados:
Como são 4 pontos, teremos 3 segmentos de spline quadrática (
).
Passo 4
Cada spline
precisa passar por dois pontos consecutivos e ter continuidade na primeira derivada nos pontos internos. Então, para 3 splines, temos:
Passo 5
Além disso, precisamos garantir que as derivadas dos splines se igualem nos pontos internos (continuidade da primeira derivada):
Passo 6
Agora, vamos traduzir essas condições em equações. Cada equação vai se basear nos coeficientes
,
e
dos splines.
Por exemplo, para
:
Fazendo isso para todas as condições, teremos um sistema de 8 equações.
Passo 7
Organizando essas equações na forma matricial
, onde
é o vetor dos coeficientes
, a matriz
será uma matriz de coeficientes das incógnitas e
será o vetor dos termos constantes.
Passo 8
Finalmente, montamos a matriz
e o vetor
com base nas equações obtidas:
Resposta
As matrizes do sistema são: