Para cada conjunto de dados apresentados nos itens abaixo, considere a aproximação por spline quadrática para apresentar as matrizes do sistema
sendo,
A : matriz de coeficientes : matriz de parâmetros das funções quadráticas
b : valores de
b)
1.0
2.0
3.0
5.0
3.0
6.0
19.0
99.0
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre aproximação por spline quadrática! Basicamente, queremos ajustar funções quadráticas aos pontos de dados fornecidos para que a curva resultante passe por todos eles de forma suave. Para isso, vamos precisar entender como montar as matrizes do sistema na forma . Vamos usar funções quadráticas da forma em cada intervalo entre os pontos dados.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar quantos intervalos temos. Com os pontos , , , e , temos três intervalos: [1,2], [2,3], e [3,5]. Então, vamos precisar de três funções quadráticas:
Passo 3
Agora, precisamos garantir que as funções quadráticas passem pelos pontos dados. Isso nos dá três equações:
Para :
Para : e
Para : e
Para :
Essas condições garantem que as funções quadráticas passem exatamente pelos pontos dados.
Passo 4
Além de passar pelos pontos, queremos que as curvas sejam suaves, ou seja, que as derivadas das funções quadráticas sejam iguais nos pontos de junção. Isso nos dá mais duas equações:
A derivada de em deve ser igual à derivada de em :
A derivada de em deve ser igual à derivada de em :
Passo 5
Agora, vamos listar todas as equações que temos:
(derivadas em )
(derivadas em )
Passo 6
Vamos reescrever essas equações de forma mais simples:
Passo 7
Agora, vamos organizar essas equações na forma matricial .
A matriz será uma matriz (8 equações e 9 incógnitas: , , , , , , , , ), mas para simplificação, podemos resolver passo a passo. No entanto, o importante aqui é identificar como a matriz fica estruturada com os coeficientes de cada incógnita em cada equação.
Passo 8
Finalmente, a matriz e o vetor ficam assim:
Resposta
A matriz do sistema e o vetor para a aproximação por spline quadrática são: