Para cada conjunto de dados apresentados nos itens abaixo, considere a aproximação por spline quadrática para apresentar as matrizes do sistema
A x=b
sendo,
A : matriz de coeficientes
x : matriz de parâmetros das funções quadráticas (a1, b1, c1 ; a2, b2, c2 ; ldots)
b : valores de f(x)
b) [1]
x 1.0 2.0 3.0 5.0
f(x) 3.0 6.0 19.0 99.0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre aproximação por spline quadrática! Basicamente, queremos ajustar funções quadráticas aos pontos de dados fornecidos para que a curva resultante passe por todos eles de forma suave. Para isso, vamos precisar entender como montar as matrizes do sistema na forma A x = b. Vamos usar funções quadráticas da forma f(x) = ai x^2 + bi x + ci em cada intervalo entre os pontos dados.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar quantos intervalos temos. Com os pontos x = 1.0, 2.0, 3.0, e 5.0, temos três intervalos: [1,2], [2,3], e [3,5]. Então, vamos precisar de três funções quadráticas:
f1(x) &= a1 x^2 + b1 x + c1 para [1,2] f2(x) &= a2 x^2 + b2 x + c2 para [2,3] f3(x) &= a3 x^2 + b3 x + c3 para [3,5]

Passo 3

Agora, precisamos garantir que as funções quadráticas passem pelos pontos dados. Isso nos dá três equações:
  1. Para x=1: f1(1) = 3
  2. Para x=2: f1(2) = 6 e f2(2) = 6
  3. Para x=3: f2(3) = 19 e f3(3) = 19
  4. Para x=5: f3(5) = 99
Essas condições garantem que as funções quadráticas passem exatamente pelos pontos dados.

Passo 4

Além de passar pelos pontos, queremos que as curvas sejam suaves, ou seja, que as derivadas das funções quadráticas sejam iguais nos pontos de junção. Isso nos dá mais duas equações:
  1. A derivada de f1 em x=2 deve ser igual à derivada de f2 em x=2:
2a1 cdot 2 + b1 = 2a2 cdot 2 + b2
  1. A derivada de f2 em x=3 deve ser igual à derivada de f3 em x=3:
2a2 cdot 3 + b2 = 2a3 cdot 3 + b3

Passo 5

Agora, vamos listar todas as equações que temos:
  1. a1 (1)^2 + b1 (1) + c1 = 3
  2. a1 (2)^2 + b1 (2) + c1 = 6
  3. a2 (2)^2 + b2 (2) + c2 = 6
  4. a2 (3)^2 + b2 (3) + c2 = 19
  5. a3 (3)^2 + b3 (3) + c3 = 19
  6. a3 (5)^2 + b3 (5) + c3 = 99
  7. 4a1 + b1 = 4a2 + b2 (derivadas em x=2)
  8. 6a2 + b2 = 6a3 + b3 (derivadas em x=3)

Passo 6

Vamos reescrever essas equações de forma mais simples:
  1. a1 + b1 + c1 = 3
  2. 4a1 + 2b1 + c1 = 6
  3. 4a2 + 2b2 + c2 = 6
  4. 9a2 + 3b2 + c2 = 19
  5. 9a3 + 3b3 + c3 = 19
  6. 25a3 + 5b3 + c3 = 99
  7. 4a1 + b1 - 4a2 - b2 = 0
  8. 6a2 + b2 - 6a3 - b3 = 0

Passo 7

Agora, vamos organizar essas equações na forma matricial A x = b.
A matriz A será uma matriz (8 equações e 9 incógnitas: 8 times 9, a1, b1, c1, a2, b2, c2, a3, b3), mas para simplificação, podemos resolver passo a passo. No entanto, o importante aqui é identificar como a matriz fica estruturada com os coeficientes de cada incógnita em cada equação.

Passo 8

Finalmente, a matriz A e o vetor b ficam assim:
A = 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 4 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 4 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 9 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 9 & 3 & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 25 & 5 & 1 4 & 1 & 0 & -4 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 6 & 1 & 0 & -6 & -1 & 0 , b = 3 6 6 19 19 99 0 0

Resposta

A matriz do sistema A e o vetor b para a aproximação por spline quadrática são:
A = 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 4 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 4 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 9 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 9 & 3 & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 25 & 5 & 1 4 & 1 & 0 & -4 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 6 & 1 & 0 & -6 & -1 & 0 , b = 3 6 6 19 19 99 0 0

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