[2] Aplique a regra do trapézio com diferentes valores de h para calcular
I=integrale^e+2 1x ln x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral
I = integrale^e+2 1x ln x dx
Usando a regra do trapézio. A matéria que estamos lidando aqui é o Cálculo Integral Numérico, especificamente o método do Trapézio. Para resolver isso, vamos precisar entender como a regra do trapézio aproxima integrais e escolher diferentes valores de , que é o tamanho dos intervalos que vamos usar para a aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a regra do trapézio. Ela aproxima a área sob a curva dividindo o intervalo de integração em partes menores e aproximando cada parte por um trapézio. A fórmula geral é:
I approx h2 [f(a) + 2f(a+h) + 2f(a+2h) + dots + 2f(b-h) + f(b)]
onde:
  • é o intervalo de integração,
  • é o tamanho de cada subintervalo,
  • é a função que estamos integrando.

Passo 3

Vamos identificar nossos parâmetros:
  • O intervalo é de até .
  • A função é .
Agora, vamos escolher diferentes valores para . Por exemplo, podemos escolher , , e para ver como a aproximação melhora com valores menores de .

Passo 4

Caso 1: I approx 12 [f(e) + 2f(e+1) + f(e+2)]
  • Número de subintervalos
  • Pontos: , ,
  • Calculando para cada ponto:
  • Aplicando a fórmula do trapézio:

Passo 5

Caso 2: I approx 0.52 [f(e) + 2f(e+0.5) + 2f(e+1) + 2f(e+1.5) + f(e+2)]
  • Número de subintervalos
  • Pontos: , , , ,
  • Calculando para cada ponto:
  • Aplicando a fórmula do trapézio:

Passo 6

Caso 3: I approx 0.252 [f(e) + 2f(e+0.25) + 2f(e+0.5) + 2f(e+0.75) + 2f(e+1) + 2f(e+1.25) + 2f(e+1.5) + 2f(e+1.75) + f(e+2)]
  • Número de subintervalos
  • Pontos: , , , , , , , ,
  • Calculando para cada ponto:
  • Aplicando a fórmula do trapézio:

Resposta

Usando a regra do trapézio com diferentes valores de I approx 12 [ 1e + 2 cdot 1(e+1)ln(e+1) + 1(e+2)ln(e+2) ] , obtemos as seguintes aproximações para a integral I approx 0.52 [ 1e + 2 cdot 1(e+0.5)ln(e+0.5) + 2 cdot 1(e+1)ln(e+1) + 2 cdot 1(e+1.5)ln(e+1.5) + 1(e+2)ln(e+2) ] :
  • Para I approx 0.252 [ 1e + 2 cdot 1(e+0.25)ln(e+0.25) + 2 cdot 1(e+0.5)ln(e+0.5) + 2 cdot 1(e+0.75)ln(e+0.75) + 2 cdot 1(e+1)ln(e+1) + 2 cdot 1(e+1.25)ln(e+1.25) + 2 cdot 1(e+1.5)ln(e+1.5) + 2 cdot 1(e+1.75)ln(e+1.75) + 1(e+2)ln(e+2) ] :
  • Para :
  • Para :
Essas expressões fornecem aproximações cada vez mais precisas da integral conforme diminuímos o valor de .

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