[2] Aplique a regra do trapézio com diferentes valores de para calcular

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral
Usando a regra do trapézio. A matéria que estamos lidando aqui é o Cálculo Integral Numérico, especificamente o método do Trapézio. Para resolver isso, vamos precisar entender como a regra do trapézio aproxima integrais e escolher diferentes valores de , que é o tamanho dos intervalos que vamos usar para a aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a regra do trapézio. Ela aproxima a área sob a curva dividindo o intervalo de integração em partes menores e aproximando cada parte por um trapézio. A fórmula geral é:
onde:
  • é o intervalo de integração,
  • é o tamanho de cada subintervalo,
  • é a função que estamos integrando.

Passo 3

Vamos identificar nossos parâmetros:
  • O intervalo é de até .
  • A função é .
Agora, vamos escolher diferentes valores para . Por exemplo, podemos escolher , , e para ver como a aproximação melhora com valores menores de .

Passo 4

Caso 1:
  • Número de subintervalos
  • Pontos: , ,
  • Calculando para cada ponto:
  • Aplicando a fórmula do trapézio:

Passo 5

Caso 2:
  • Número de subintervalos
  • Pontos: , , , ,
  • Calculando para cada ponto:
  • Aplicando a fórmula do trapézio:

Passo 6

Caso 3:
  • Número de subintervalos
  • Pontos: , , , , , , , ,
  • Calculando para cada ponto:
  • Aplicando a fórmula do trapézio:

Resposta

Usando a regra do trapézio com diferentes valores de , obtemos as seguintes aproximações para a integral :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Essas expressões fornecem aproximações cada vez mais precisas da integral conforme diminuímos o valor de .

Exercícios relacionados

[1] O conjunto de dados abaixo define a concentração de oxigênio dissolvido na água do mar, em função da temperatura
0.0 8.0 16.0 24.0
14.621 11.843 9.870 8.418
A partir da aproximação por spline quadrática apresente a equação da spline para o trecho 3 e o valor encontrado no ponto .
Para cada conjunto de dados apresentados nos itens abaixo, considere a aproximação por spline quadrática para apresentar as matrizes do sistema
sendo,
A : matriz de coeficientes
: matriz de parâmetros das funções quadráticas
b : valores de
a)
[3] A partir da tabela abaixo, aproxime o conjunto de pontos pelo método dos mínimos quadrados considerando
0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
5.02 5.21 6.49 9.54 16.02 24.53