[2] Aplique a regra do trapézio com diferentes valores de
para calcular
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral
Usando a regra do trapézio. A matéria que estamos lidando aqui é o Cálculo Integral Numérico, especificamente o método do Trapézio. Para resolver isso, vamos precisar entender como a regra do trapézio aproxima integrais e escolher diferentes valores de
, que é o tamanho dos intervalos que vamos usar para a aproximação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a regra do trapézio. Ela aproxima a área sob a curva dividindo o intervalo de integração em partes menores e aproximando cada parte por um trapézio. A fórmula geral é:
onde:
-
é o intervalo de integração, -
é o tamanho de cada subintervalo, -
é a função que estamos integrando.
Passo 3
Vamos identificar nossos parâmetros:
- O intervalo é de
até . - A função é
.
Agora, vamos escolher diferentes valores para
. Por exemplo, podemos escolher
,
, e
para ver como a aproximação melhora com valores menores de
.
Passo 4
Caso 1:
- Número de subintervalos
- Pontos:
, , - Calculando
para cada ponto: -
- Aplicando a fórmula do trapézio:
Passo 5
Caso 2:
- Número de subintervalos
- Pontos:
, , , , - Calculando
para cada ponto: -
- Aplicando a fórmula do trapézio:
Passo 6
Caso 3:
- Número de subintervalos
- Pontos:
, , , , , , , , - Calculando
para cada ponto: -
- Aplicando a fórmula do trapézio:
Resposta
Usando a regra do trapézio com diferentes valores de
, obtemos as seguintes aproximações para a integral
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Essas expressões fornecem aproximações cada vez mais precisas da integral
conforme diminuímos o valor de
.
Exercícios relacionados
[1] O conjunto de dados abaixo define a concentração de oxigênio dissolvido na água do mar, em função da temperatura
|
0.0 | 8.0 | 16.0 | 24.0 |
---|---|---|---|---|
|
14.621 | 11.843 | 9.870 | 8.418 |
A partir da aproximação por spline quadrática apresente a equação da spline para o trecho 3 e o valor encontrado no ponto
.
Para cada conjunto de dados apresentados nos itens abaixo, considere a aproximação por spline quadrática para apresentar as matrizes do sistema
sendo,
A : matriz de coeficientes
: matriz de parâmetros das funções quadráticas
b : valores de
a)
A : matriz de coeficientes
b : valores de
a)
[3] A partir da tabela abaixo, aproxime o conjunto de pontos pelo método dos mínimos quadrados considerando
|
0 | 0.5 | 1.0 | 1.5 | 2.0 | 2.5 |
---|---|---|---|---|---|---|
|
5.02 | 5.21 | 6.49 | 9.54 | 16.02 | 24.53 |