Para cada conjunto de dados apresentados nos itens abaixo, considere a aproximação por spline quadrática para apresentar as matrizes do sistema
sendo,
A : matriz de coeficientes : matriz de parâmetros das funções quadráticas
b : valores de
b)
2.0
3.0
4.0
5.0
0.5
0.33
0.25
0.2
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa montar as matrizes do sistema usando aproximação por spline quadrática para os dados fornecidos. Isso envolve entender como as splines quadráticas funcionam e identificar as equações necessárias para construir a matriz e o vetor . Vamos precisar usar conceitos de interpolação por splines e sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma spline quadrática. Uma spline quadrática é uma função composta por segmentos de polinômios de segundo grau que se ligam de forma suave nos pontos dados. Para os nossos dados, temos 4 pontos: , , e . Como são 4 pontos, teremos 3 intervalos para as splines: [2.0, 3.0], [3.0, 4.0] e [4.0, 5.0].
Passo 3
Cada intervalo terá sua própria função quadrática, então vamos definir:
Spline 1: para
Spline 2: para
Spline 3: para
Passo 4
Agora, precisamos estabelecer as condições que essas splines devem satisfazer:
Condição de interpolação nos pontos dados:
Condição de suavidade nas junções (continuidade das derivadas):
Passo 5
Vamos transformar essas condições em equações. Cada condição de interpolação nos dá uma equação quando substituímos os valores de e nas funções .
Por exemplo, para :
Repetindo isso para todos os pontos, teremos 6 equações.
Passo 6
Agora, vamos tratar das condições de suavidade, que envolvem as derivadas das splines. A derivada de é:
Então, para :
E para :
Isso nos dá mais 2 equações, totalizando 8 equações.
Passo 7
Com essas 8 equações, podemos montar a matriz e o vetor . Cada equação representa uma linha na matriz e uma entrada no vetor . As incógnitas são os coeficientes , e das splines.
Por exemplo, a primeira equação:
correspondente a , será representada na matriz como para as incógnitas .
Fazendo isso para todas as equações, teremos a matriz completa e o vetor correspondente.
Passo 8
Finalmente, organizamos todas as equações em forma matricial . A matriz vai conter os coeficientes dos , , e nas equações, e o vetor terá os valores correspondentes das funções e suas derivadas.
Resposta
Montamos as matrizes do sistema para a aproximação por spline quadrática com os dados fornecidos: