Para cada conjunto de dados apresentados nos itens abaixo, considere a aproximação por spline quadrática para apresentar as matrizes do sistema
A x=b
sendo,
A : matriz de coeficientes
x : matriz de parâmetros das funções quadráticas (a1, b1, c1 ; a2, b2, c2 ; ldots)
b : valores de f(x)
b) [1]
x 2.0 3.0 4.0 5.0
f(x) 0.5 0.33 0.25 0.2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa montar as matrizes do sistema A x = b usando aproximação por spline quadrática para os dados fornecidos. Isso envolve entender como as splines quadráticas funcionam e identificar as equações necessárias para construir a matriz A e o vetor b. Vamos precisar usar conceitos de interpolação por splines e sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma spline quadrática. Uma spline quadrática é uma função composta por segmentos de polinômios de segundo grau que se ligam de forma suave nos pontos dados. Para os nossos dados, temos 4 pontos: (2.0, 0.5), (3.0, 0.33), (4.0, 0.25) e (5.0, 0.2). Como são 4 pontos, teremos 3 intervalos para as splines: [2.0, 3.0], [3.0, 4.0] e [4.0, 5.0].

Passo 3

Cada intervalo terá sua própria função quadrática, então vamos definir:
  • Spline 1: S1(x) = a1x^2 + b1x + c1 para x in [2.0, 3.0]
  • Spline 2: S2(x) = a2x^2 + b2x + c2 para x in [3.0, 4.0]
  • Spline 3: S3(x) = a3x^2 + b3x + c3 para x in [4.0, 5.0]

Passo 4

Agora, precisamos estabelecer as condições que essas splines devem satisfazer:
  1. Condição de interpolação nos pontos dados:
    • S1(2.0) = 0.5
    • S1(3.0) = 0.33
    • S2(3.0) = 0.33
    • S2(4.0) = 0.25
    • S3(4.0) = 0.25
    • S3(5.0) = 0.2
  2. Condição de suavidade nas junções (continuidade das derivadas):
    • S1'(3.0) = S2'(3.0)
    • S2'(4.0) = S3'(4.0)

Passo 5

Vamos transformar essas condições em equações. Cada condição de interpolação nos dá uma equação quando substituímos os valores de x e f(x) nas funções Si(x).
Por exemplo, para S1(2.0) = 0.5:
a1(2.0)^2 + b1(2.0) + c1 = 0.5
Repetindo isso para todos os pontos, teremos 6 equações.

Passo 6

Agora, vamos tratar das condições de suavidade, que envolvem as derivadas das splines. A derivada de Si(x) é:
Si'(x) = 2aix + bi
Então, para S1'(3.0) = S2'(3.0):
2a1(3.0) + b1 = 2a2(3.0) + b2
E para S2'(4.0) = S3'(4.0):
2a2(4.0) + b2 = 2a3(4.0) + b3
Isso nos dá mais 2 equações, totalizando 8 equações.

Passo 7

Com essas 8 equações, podemos montar a matriz A e o vetor b. Cada equação representa uma linha na matriz A e uma entrada no vetor b. As incógnitas são os coeficientes ai, bi e ci das splines.
Por exemplo, a primeira equação:
4a1 + 2b1 + c1 = 0.5
correspondente a S1(2.0) = 0.5, será representada na matriz como [4, 2, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0] para as incógnitas [a1, b1, c1, a2, b2, c2, a3, b3, c3].
Fazendo isso para todas as equações, teremos a matriz A completa e o vetor b correspondente.

Passo 8

Finalmente, organizamos todas as equações em forma matricial A x = b. A matriz A vai conter os coeficientes dos ai, bi, e ci nas equações, e o vetor b terá os valores correspondentes das funções e suas derivadas.

Resposta

Montamos as matrizes do sistema A x = b para a aproximação por spline quadrática com os dados fornecidos:
A = 4 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 9 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 9 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 16 & 4 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 16 & 4 & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 25 & 5 & 1 6 & 1 & 0 & -6 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 8 & 1 & 0 & -8 & -1 & 0 , b = 0.5 0.33 0.33 0.25 0.25 0.2 0 0
Onde x = [a1, b1, c1, a2, b2, c2, a3, b3, c3]^T.

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