[1 Pontos] Use o Teste da integral para provar que a série
sumn=1^infty n(n^2+1)^2=12^2+25^2+310^2+ldots
é convergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente usar o Teste da Integral para mostrar que a série
sumn=1^infty n(n^2+1)^2 = 12^2 + 25^2 + 310^2 + ldots
é convergente. Isso está no campo de cálculo, mais especificamente em séries infinitas. Para resolver, vamos precisar entender o que é o Teste da Integral e como aplicá-lo a essa série.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Integral. Esse teste nos ajuda a determinar se uma série infinita converge ou diverge usando uma integral correspondente. Basicamente, se a função que gera os termos da série é contínua, positiva e decrescente, podemos comparar a série com a integral de de 1 até o infinito.

Passo 3

Então, identifique a função f(n) = n(n^2+1)^2 da nossa série. Aqui, temos:
Vamos verificar se essa função atende aos critérios do Teste da Integral:
  1. Contínua: Sim, para todo , a função está bem definida e é contínua.
  2. Positiva: Sim, pois o numerador e o denominador são positivos para .
  3. Decrescente: Vamos verificar isso calculando a derivada.

Passo 4

Para mostrar que f(x) = x(x^2 + 1)^2 é decrescente, calculamos a derivada de f'(x) = (1)(x^2 + 1)^2 - x cdot 2(x^2 + 1)(2x)(x^2 + 1)^4 em relação a f'(x) = (x^2 + 1) - 4x^2(x^2 + 1)^3 = 1 - 3x^2(x^2 + 1)^3 :
Usando a regra do quociente:
Simplificando:
Para , o numerador é negativo, então . Portanto, a função é decrescente.

Passo 5

Agora que confirmamos que integral1^infty x(x^2 + 1)^2 dx é contínua, positiva e decrescente para , podemos aplicar o Teste da Integral. Vamos calcular a integral de de 1 até o infinito:

Passo 6

Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Seja integral x(x^2 + 1)^2 dx = 12 integral 1u^2 du = 12 ( -1u ) + C = -12u + C , então -12(x^2 + 1) + C , ou seja, .
Substituindo na integral:
Voltando para :

Passo 7

Agora, avaliamos a integral imprópria de 1 até o infinito:
limb to infty [ -12(x^2 + 1) ]1^b = limb to infty ( -12(b^2 + 1) + 12(1^2 + 1) ) = 0 + 14 = 14

Resposta

Como a integral converge para , pelo Teste da Integral, a série também é convergente.

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