[1 Pontos] Use o Teste da integral para provar que a série
é convergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente usar o Teste da Integral para mostrar que a série
é convergente. Isso está no campo de cálculo, mais especificamente em séries infinitas. Para resolver, vamos precisar entender o que é o Teste da Integral e como aplicá-lo a essa série.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Integral. Esse teste nos ajuda a determinar se uma série infinita converge ou diverge usando uma integral correspondente. Basicamente, se a função
que gera os termos da série é contínua, positiva e decrescente, podemos comparar a série com a integral de
de 1 até o infinito.
Passo 3
Então, identifique a função
da nossa série. Aqui, temos:
Vamos verificar se essa função atende aos critérios do Teste da Integral:
- Contínua: Sim, para todo
, a função está bem definida e é contínua. - Positiva: Sim, pois o numerador e o denominador são positivos para
. - Decrescente: Vamos verificar isso calculando a derivada.
Passo 4
Para mostrar que
é decrescente, calculamos a derivada de
em relação a
:
Usando a regra do quociente:
Simplificando:
Para
, o numerador
é negativo, então
. Portanto, a função é decrescente.
Passo 5
Agora que confirmamos que
é contínua, positiva e decrescente para
, podemos aplicar o Teste da Integral. Vamos calcular a integral de
de 1 até o infinito:
Passo 6
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Seja
, então
, ou seja,
.
Substituindo na integral:
Voltando para
:
Passo 7
Agora, avaliamos a integral imprópria de 1 até o infinito:
Resposta
Como a integral
converge para
, pelo Teste da Integral, a série
também é convergente.
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, em que
c) , onde
;
c)
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para os quais a série
seja convergente.
[1 Pontos] Determine o limite
, em que
a) ;
a)
[1 Pontos] Determine o limite
, em que
d) , com
e
reais positivos com
.
d)