[1 Pontos] Use o Teste da integral para provar que a série
é convergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente usar o Teste da Integral para mostrar que a série
é convergente. Isso está no campo de cálculo, mais especificamente em séries infinitas. Para resolver, vamos precisar entender o que é o Teste da Integral e como aplicá-lo a essa série.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Integral. Esse teste nos ajuda a determinar se uma série infinita converge ou diverge usando uma integral correspondente. Basicamente, se a função que gera os termos da série é contínua, positiva e decrescente, podemos comparar a série com a integral de de 1 até o infinito.

Passo 3

Então, identifique a função da nossa série. Aqui, temos:
Vamos verificar se essa função atende aos critérios do Teste da Integral:
  1. Contínua: Sim, para todo , a função está bem definida e é contínua.
  2. Positiva: Sim, pois o numerador e o denominador são positivos para .
  3. Decrescente: Vamos verificar isso calculando a derivada.

Passo 4

Para mostrar que é decrescente, calculamos a derivada de em relação a :
Usando a regra do quociente:
Simplificando:
Para , o numerador é negativo, então . Portanto, a função é decrescente.

Passo 5

Agora que confirmamos que é contínua, positiva e decrescente para , podemos aplicar o Teste da Integral. Vamos calcular a integral de de 1 até o infinito:

Passo 6

Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Seja , então , ou seja, .
Substituindo na integral:
Voltando para :

Passo 7

Agora, avaliamos a integral imprópria de 1 até o infinito:

Resposta

Como a integral converge para , pelo Teste da Integral, a série também é convergente.

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