[1 Pontos] Determine os valores de p in R para os quais a série
sumn=1^infty 1n^p ln (n)
seja convergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir para quais valores de sumn=1^infty 1n^p ln (n) a série infinita
é convergente. Vamos trabalhar com conceitos de convergência de séries e usar o Teste da Integral para analisar.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa uma série ser convergente. Uma série infinita como essa soma uma sequência de termos, e dizer que ela é convergente significa que, conforme somamos mais e mais termos, a soma se aproxima de um número finito.

Passo 3

Para investigar a convergência dessa série, vamos usar o Teste da Integral. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de séries comparando com uma integral. A ideia é que, se a função associada à série for contínua, positiva e decrescente, a convergência da integral vai indicar a convergência da série.

Passo 4

Vamos calcular a integral:
integral2^infty 1x^p ln (x) dx
(Note que começamos de para evitar o problema de .)

Passo 5

Fazendo uma substituição para facilitar a integração, seja integral 1e^p u cdot u e^u du = integral 1e^(p-1)u cdot u du , então ou .
Substituindo na integral:

Passo 6

A integral agora fica:
integral 1u e^(p-1)u du
Para determinar a convergência, analisamos o comportamento dessa integral conforme tende ao infinito.

Passo 7

  • Se (ou seja, ): A função cresce exponencialmente, fazendo com que o denominador cresça rapidamente e a integral converja.
  • Se (ou seja, ): A função não cresce suficientemente rápido (ou até decresce), fazendo com que a integral diverja.

Passo 8

Portanto, a integral converge se e somente se . Pelo Teste da Integral, isso significa que a série original também converge nessas condições.

Resposta

A série é convergente para todos os valores de tais que .

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