[1 Pontos] Determine os valores de
para os quais a série
seja convergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir para quais valores de
a série infinita
é convergente. Vamos trabalhar com conceitos de convergência de séries e usar o Teste da Integral para analisar.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa uma série ser convergente. Uma série infinita como essa soma uma sequência de termos, e dizer que ela é convergente significa que, conforme somamos mais e mais termos, a soma se aproxima de um número finito.
Passo 3
Para investigar a convergência dessa série, vamos usar o Teste da Integral. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de séries comparando com uma integral. A ideia é que, se a função associada à série for contínua, positiva e decrescente, a convergência da integral
vai indicar a convergência da série.
Passo 4
Vamos calcular a integral:
(Note que começamos de
para evitar o problema de
.)
Passo 5
Fazendo uma substituição para facilitar a integração, seja
, então
ou
.
Substituindo na integral:
Passo 6
A integral agora fica:
Para determinar a convergência, analisamos o comportamento dessa integral conforme
tende ao infinito.
Passo 7
-
Se
(ou seja, ): A função cresce exponencialmente, fazendo com que o denominador cresça rapidamente e a integral converja. -
Se
(ou seja, ): A função não cresce suficientemente rápido (ou até decresce), fazendo com que a integral diverja.
Passo 8
Portanto, a integral
converge se e somente se
. Pelo Teste da Integral, isso significa que a série original também converge nessas condições.
Resposta
A série
é convergente para todos os valores de
tais que
.