- (2,0 pontos) Determine os extremos da funçāo
sujeita a restrição
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os extremos da função
com a restrição de que
. Isso significa que estamos procurando os valores máximos e mínimos dessa função dentro do círculo unitário. Para isso, vamos usar um método chamado Multiplicadores de Lagrange, que ajuda a encontrar extremos de funções com restrições.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são os Multiplicadores de Lagrange. Esse método nos permite otimizar uma função
sujeita a uma restrição
criando uma nova função chamada Lagrangiana, que é dada por:
Onde
é o multiplicador de Lagrange.
Passo 3
No nosso caso, a função que queremos otimizar é
e a restrição é
. Vamos montar a Lagrangiana:
Passo 4
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais da Lagrangiana em relação a
,
e
e igualá-las a zero. Isso nos dá um sistema de equações que precisamos resolver.
Primeira derivada parcial em relação a
:
Segunda derivada parcial em relação a
:
Terceira derivada parcial em relação a
:
Passo 5
Agora, vamos resolver esse sistema de equações:
- Da primeira equação:
- Da segunda equação:
Igualando as duas expressões para
:
- Agora, substituímos
na terceira equação da restrição:
- Encontrando
:
Resposta
Os extremos da função
sujeitos à restrição
são:
- Máximo em
- Mínimo em
Exercícios relacionados
A seguir são apresentadas quatro funções de iteração, as quais serão utilizadas para obter uma aproximação para
via Método Iterativo Linear utilizando como aproximação inicial
. Ordene essas funções de iteração de acordo com a velocidade de convergência.
© ;
©
A seguir são apresentadas quatro funções de iteração, as quais serão utilizadas para obter uma aproximação para
via Método Iterativo Linear utilizando como aproximação inicial
. Ordene essas funções de iteração de acordo com a velocidade de convergência.
(d) .
(d)
[1 Pontos] Determine o limite
, em que
b) (0.25 Pts) ;
b) (0.25 Pts)
[1 Pontos] Determine os valores de
para os quais a série
seja convergente.