1. (2,0 pontos) Determine os extremos da funçāo sujeita a restrição

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os extremos da função com a restrição de que . Isso significa que estamos procurando os valores máximos e mínimos dessa função dentro do círculo unitário. Para isso, vamos usar um método chamado Multiplicadores de Lagrange, que ajuda a encontrar extremos de funções com restrições.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são os Multiplicadores de Lagrange. Esse método nos permite otimizar uma função sujeita a uma restrição criando uma nova função chamada Lagrangiana, que é dada por:
Onde é o multiplicador de Lagrange.

Passo 3

No nosso caso, a função que queremos otimizar é e a restrição é . Vamos montar a Lagrangiana:

Passo 4

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais da Lagrangiana em relação a , e e igualá-las a zero. Isso nos dá um sistema de equações que precisamos resolver.
Primeira derivada parcial em relação a :
Segunda derivada parcial em relação a :
Terceira derivada parcial em relação a :

Passo 5

Agora, vamos resolver esse sistema de equações:
  1. Da primeira equação:
  1. Da segunda equação:
Igualando as duas expressões para :
  1. Agora, substituímos na terceira equação da restrição:
  1. Encontrando :

Resposta

Os extremos da função sujeitos à restrição são:
  • Máximo em
  • Mínimo em

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A seguir são apresentadas quatro funções de iteração, as quais serão utilizadas para obter uma aproximação para via Método Iterativo Linear utilizando como aproximação inicial . Ordene essas funções de iteração de acordo com a velocidade de convergência.
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A seguir são apresentadas quatro funções de iteração, as quais serão utilizadas para obter uma aproximação para via Método Iterativo Linear utilizando como aproximação inicial . Ordene essas funções de iteração de acordo com a velocidade de convergência.
(d) .
[1 Pontos] Determine o limite , em que
b) (0.25 Pts) ;
[1 Pontos] Determine os valores de para os quais a série
seja convergente.