1. (2,0 pontos) Determine os extremos da funçāo f(x, y)=3 x+2 y sujeita a restrição x^2+y^2=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os extremos da função com a restrição de que . Isso significa que estamos procurando os valores máximos e mínimos dessa função dentro do círculo unitário. Para isso, vamos usar um método chamado Multiplicadores de Lagrange, que ajuda a encontrar extremos de funções com restrições.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são os Multiplicadores de Lagrange. Esse método nos permite otimizar uma função L(x, y, lambda) = f(x, y) - lambda (g(x, y)) sujeita a uma restrição criando uma nova função chamada Lagrangiana, que é dada por:
Onde é o multiplicador de Lagrange.

Passo 3

No nosso caso, a função que queremos otimizar é L(x, y, lambda) = 3x + 2y - lambda (x^2 + y^2 - 1) e a restrição é . Vamos montar a Lagrangiana:

Passo 4

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais da Lagrangiana em relação a partial Lpartial x = 3 - 2lambda x = 0 , partial Lpartial y = 2 - 2lambda y = 0 e partial Lpartial lambda = -(x^2 + y^2 - 1) = 0 e igualá-las a zero. Isso nos dá um sistema de equações que precisamos resolver.
Primeira derivada parcial em relação a :
Segunda derivada parcial em relação a :
Terceira derivada parcial em relação a :

Passo 5

Agora, vamos resolver esse sistema de equações:
  1. Da primeira equação:
3 - 2lambda x = 0 implies lambda = 32x
  1. Da segunda equação:
2 - 2lambda y = 0 implies lambda = 22y = 1y
Igualando as duas expressões para 32x = 1y implies 3y = 2x implies y = 23x :
x^2 + (23x)^2 = 1 implies x^2 + 49x^2 = 1 implies 139x^2 = 1 implies x^2 = 913 implies x = pm 3raiz13
  1. Agora, substituímos y = 23x = pm 23 cdot 3raiz13 = pm 2raiz13 na terceira equação da restrição:
  1. Encontrando :

Resposta

Os extremos da função sujeitos à restrição são:
  • Máximo em
  • Mínimo em

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