é crescente e limitada. Prove que existe e calcule seu valor.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma sequência definida da seguinte forma:
E assim por diante…
A regra para encontrar cada termo é .
O que precisamos fazer é mostrar que essa sequência está sempre aumentando (é crescente) e que ela não cresce indefinidamente (é limitada). Depois disso, vamos provar que ela tem um limite quando tende ao infinito e calcular esse valor.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que a sequência é crescente, ou seja, que cada termo é maior que o anterior: .
Para isso, vamos comparar com :
Sabemos que .
Como é positivo (começamos com 0 e adicionamos radicais, que são positivos), então .
Portanto, , o que significa que .
Assim, mostramos que a sequência está sempre aumentando.
Passo 3
Agora, vamos mostrar que a sequência é limitada, ou seja, que existe um número que ela nunca ultrapassa. Vamos supor que esse limite seja 2.
Vamos verificar se todos os termos da sequência são menores que 2 por indução:
Caso base: , verdadeiro.
Hipótese de indução: Suponha que .
Passo de indução: Então, .
Portanto, por indução matemática, todos os termos da sequência são menores que 2. Assim, a sequência é limitada superiormente por 2.
Passo 4
Já mostramos que a sequência é crescente e limitada acima. Segundo um teorema importante da matemática, toda sequência que é crescente e limitada acima converge para um limite.
Portanto, existe.
Passo 5
Agora, vamos encontrar o valor desse limite . Sabemos que, se a sequência converge para , então e ambos se aproximam de .
Então, podemos escrever a relação:
Vamos resolver essa equação para encontrar :
Eleve os dois lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Reorganize a equação para igualar a zero:
Agora, resolva essa equação quadrática. Usando a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá duas soluções: ou .
Como estamos lidando com radicais que produzem resultados positivos, descartamos a solução negativa. Portanto, .