[1 Pontos] Mostre que a sequência
dada por
cuja lei de formação é
é crescente e limitada. Prove que
existe e calcule seu valor.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma sequência definida da seguinte forma:
-
-
-
-
- E assim por diante…
A regra para encontrar cada termo é
.
O que precisamos fazer é mostrar que essa sequência está sempre aumentando (é crescente) e que ela não cresce indefinidamente (é limitada). Depois disso, vamos provar que ela tem um limite
quando
tende ao infinito e calcular esse valor.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que a sequência é crescente, ou seja, que cada termo é maior que o anterior:
.
Para isso, vamos comparar
com
:
Sabemos que
.
Como
é positivo (começamos com 0 e adicionamos radicais, que são positivos), então
.
Portanto,
, o que significa que
.
Assim, mostramos que a sequência está sempre aumentando.
Passo 3
Agora, vamos mostrar que a sequência é limitada, ou seja, que existe um número que ela nunca ultrapassa. Vamos supor que esse limite seja 2.
Vamos verificar se todos os termos da sequência são menores que 2 por indução:
- Caso base:
, verdadeiro. - Hipótese de indução: Suponha que
. - Passo de indução: Então,
.
Portanto, por indução matemática, todos os termos da sequência são menores que 2. Assim, a sequência é limitada superiormente por 2.
Passo 4
Já mostramos que a sequência é crescente e limitada acima. Segundo um teorema importante da matemática, toda sequência que é crescente e limitada acima converge para um limite.
Portanto,
existe.
Passo 5
Agora, vamos encontrar o valor desse limite
. Sabemos que, se a sequência converge para
, então
e
ambos se aproximam de
.
Então, podemos escrever a relação:
Vamos resolver essa equação para encontrar
:
- Eleve os dois lados ao quadrado para eliminar a raiz:
- Reorganize a equação para igualar a zero:
- Agora, resolva essa equação quadrática. Usando a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá duas soluções:
ou
.
Como estamos lidando com radicais que produzem resultados positivos, descartamos a solução negativa. Portanto,
.
Resposta
O limite da sequência é
.