[1 Pontos] Mostre que a sequência (an) dada por
a0=0, a1=raiz2, an=raiz2+raiz2, a3=raiz2+raiz2+raiz2, ldots
cuja lei de formação é
a0=0 e an+1=raiz2+an
é crescente e limitada. Prove que L=lim n +infty an existe e calcule seu valor.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma sequência definida da seguinte forma:
  • E assim por diante…
A regra para encontrar cada termo é .
O que precisamos fazer é mostrar que essa sequência está sempre aumentando (é crescente) e que ela não cresce indefinidamente (é limitada). Depois disso, vamos provar que ela tem um limite quando tende ao infinito e calcular esse valor.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que a sequência é crescente, ou seja, que cada termo é maior que o anterior: .
Para isso, vamos comparar com :
Sabemos que .
Como é positivo (começamos com 0 e adicionamos radicais, que são positivos), então .
Portanto, , o que significa que .
Assim, mostramos que a sequência está sempre aumentando.

Passo 3

Agora, vamos mostrar que a sequência é limitada, ou seja, que existe um número que ela nunca ultrapassa. Vamos supor que esse limite seja 2.
Vamos verificar se todos os termos da sequência são menores que 2 por indução:
  • Caso base: , verdadeiro.
  • Hipótese de indução: Suponha que .
  • Passo de indução: Então, .
Portanto, por indução matemática, todos os termos da sequência são menores que 2. Assim, a sequência é limitada superiormente por 2.

Passo 4

Já mostramos que a sequência é crescente e limitada acima. Segundo um teorema importante da matemática, toda sequência que é crescente e limitada acima converge para um limite.
Portanto, existe.

Passo 5

Agora, vamos encontrar o valor desse limite L = raiz2 + L . Sabemos que, se a sequência converge para L^2 = 2 + L , então L^2 - L - 2 = 0 e L = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32 ambos se aproximam de .
Então, podemos escrever a relação:
Vamos resolver essa equação para encontrar :
  1. Eleve os dois lados ao quadrado para eliminar a raiz:
  1. Reorganize a equação para igualar a zero:
  1. Agora, resolva essa equação quadrática. Usando a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá duas soluções: ou .
Como estamos lidando com radicais que produzem resultados positivos, descartamos a solução negativa. Portanto, .

Resposta

O limite da sequência é .

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