Considere o problema de calcular a integral
integral0^5 x^2 e^-x d x
e considere dois métodos de integração para obter uma aproximação para essa integral:
(a) Aplicar a RTR com N=100 divisões ou;
(b) Aplicar a RSR com 2 N=20 divisões.
Qual regra irá fornecer uma aproximação mais precisa ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que você me mandou é sobre calcular a integral definida de . Estamos falando de cálculo de integrais, especificamente usando métodos numéricos para aproximar o valor dessa integral. Para resolver isso, vamos utilizar duas regras de integração: a Regra do Trapézio (RTR) com subdivisões e a Regra dos Retângulos (RSR) com subdivisões. Nosso objetivo é descobrir qual dessas regras nos dá uma aproximação mais precisa para a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são essas regras de integração. A Regra do Trapézio aproxima a área sob a curva dividindo-a em trapézios, enquanto a Regra dos Retângulos usa retângulos para essa aproximação. Em geral, quanto mais subdivisões (N) tivermos, mais precisa será a aproximação, porque conseguimos seguir melhor o formato da curva.

Passo 3

Vamos calcular a largura de cada subdivisão ( De) para cada regra:
  • Regra do Trapézio (RTR) com De:
  • Regra dos Retângulos (RSR) com (então ):

Passo 4

Agora, vamos considerar a precisão das duas regras. A Regra do Trapézio tende a ser mais precisa porque considera a inclinação da função em cada subdivisão, formando trapézios que se ajustam melhor à curva. Já a Regra dos Retângulos usa retângulos que podem não seguir tão bem as variações da função, especialmente se a função tiver muita curvatura.
Além disso, mesmo que a Regra do Trapézio tenha mais subdivisões ( ) em comparação com a Regra dos Retângulos ( ), isso reforça sua precisão, pois mais subdivisões permitem uma melhor aproximação da área sob a curva.

Resposta

A Regra do Trapézio (RTR) com subdivisões fornecerá uma aproximação mais precisa para a integral . Isso se deve ao fato de que a regra do trapézio utiliza mais subdivisões e melhor ajusta a área sob a curva ao considerar a inclinação da função, resultando em uma estimativa mais precisa comparada à regra dos retângulos com menos subdivisões.

Exercícios relacionados