Considere o problema de calcular a integral
integral0^5 x^2 e^-x d x
e considere dois métodos de integração para obter uma aproximação para essa integral:
(a) Aplicar a RTR com N=100 divisões ou;
(b) Aplicar a RSR com 2 N=20 divisões.
Qual regra irá fornecer uma aproximação mais precisa ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que você me mandou é sobre calcular a integral definida de . Estamos falando de cálculo de integrais, especificamente usando métodos numéricos para aproximar o valor dessa integral. Para resolver isso, vamos utilizar duas regras de integração: a Regra do Trapézio (RTR) com subdivisões e a Regra dos Retângulos (RSR) com subdivisões. Nosso objetivo é descobrir qual dessas regras nos dá uma aproximação mais precisa para a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são essas regras de integração. A Regra do Trapézio aproxima a área sob a curva dividindo-a em trapézios, enquanto a Regra dos Retângulos usa retângulos para essa aproximação. Em geral, quanto mais subdivisões (N) tivermos, mais precisa será a aproximação, porque conseguimos seguir melhor o formato da curva.

Passo 3

Vamos calcular a largura de cada subdivisão ( De) para cada regra:
  • Regra do Trapézio (RTR) com De:
  • Regra dos Retângulos (RSR) com (então ):

Passo 4

Agora, vamos considerar a precisão das duas regras. A Regra do Trapézio tende a ser mais precisa porque considera a inclinação da função em cada subdivisão, formando trapézios que se ajustam melhor à curva. Já a Regra dos Retângulos usa retângulos que podem não seguir tão bem as variações da função, especialmente se a função tiver muita curvatura.
Além disso, mesmo que a Regra do Trapézio tenha mais subdivisões ( ) em comparação com a Regra dos Retângulos ( ), isso reforça sua precisão, pois mais subdivisões permitem uma melhor aproximação da área sob a curva.

Resposta

A Regra do Trapézio (RTR) com subdivisões fornecerá uma aproximação mais precisa para a integral . Isso se deve ao fato de que a regra do trapézio utiliza mais subdivisões e melhor ajusta a área sob a curva ao considerar a inclinação da função, resultando em uma estimativa mais precisa comparada à regra dos retângulos com menos subdivisões.

Exercícios relacionados

Deduza as fórmulas de integração de Newton-Cotes do tipo fechado quando o integrando f(x) é interpolado por polinômios de grau 3 e grau 4 . Obtenha também as fórmulas repetidas para esses dois casos.
Seja f(x) uma função definida no intervalo [-2,2]. Se f(x) for um polinômio de grau 3, qual será o erro que ocorrerá se integrarmos essa função via Regra 1 / 3 de Simpson Repetida? Justifique sua resposta.
Considere a seguinte integral
integral0^2 e^-2 x sen(x) d x
e determine o número de divisões necessárias para e obter uma aproximação com 5 casas decimais de precisão utilizando a Regra de Boole. Essa regra é uma fórmula de Newton-Cotes do tipo fechado onde o integrando é interpolado por um polinômio de grau 4 no intervalo de integração.
[1 Pontos] Mostre que a sequência (an) dada por
a0=0, a1=raiz2, an=raiz2+raiz2, a3=raiz2+raiz2+raiz2, ldots
cuja lei de formação é
a0=0 e an+1=raiz2+an
é crescente e limitada. Prove que L=lim n +infty an existe e calcule seu valor.