Considere o problema de calcular a integral
e considere dois métodos de integração para obter uma aproximação para essa integral:
(a) Aplicar a RTR com
divisões ou;
(b) Aplicar a RSR com
divisões.
Qual regra irá fornecer uma aproximação mais precisa ? Justifique sua resposta.
(a) Aplicar a RTR com
(b) Aplicar a RSR com
Qual regra irá fornecer uma aproximação mais precisa ? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema que você me mandou é sobre calcular a integral definida de
. Estamos falando de cálculo de integrais, especificamente usando métodos numéricos para aproximar o valor dessa integral. Para resolver isso, vamos utilizar duas regras de integração: a Regra do Trapézio (RTR) com
subdivisões e a Regra dos Retângulos (RSR) com
subdivisões. Nosso objetivo é descobrir qual dessas regras nos dá uma aproximação mais precisa para a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são essas regras de integração. A Regra do Trapézio aproxima a área sob a curva dividindo-a em trapézios, enquanto a Regra dos Retângulos usa retângulos para essa aproximação. Em geral, quanto mais subdivisões (N) tivermos, mais precisa será a aproximação, porque conseguimos seguir melhor o formato da curva.
Passo 3
Vamos calcular a largura de cada subdivisão (
) para cada regra:
-
Regra do Trapézio (RTR) com
: -
Regra dos Retângulos (RSR) com
(então ):
Passo 4
Agora, vamos considerar a precisão das duas regras. A Regra do Trapézio tende a ser mais precisa porque considera a inclinação da função em cada subdivisão, formando trapézios que se ajustam melhor à curva. Já a Regra dos Retângulos usa retângulos que podem não seguir tão bem as variações da função, especialmente se a função tiver muita curvatura.
Além disso, mesmo que a Regra do Trapézio tenha mais subdivisões (
) em comparação com a Regra dos Retângulos (
), isso reforça sua precisão, pois mais subdivisões permitem uma melhor aproximação da área sob a curva.
Resposta
A Regra do Trapézio (RTR) com
subdivisões fornecerá uma aproximação mais precisa para a integral
. Isso se deve ao fato de que a regra do trapézio utiliza mais subdivisões e melhor ajusta a área sob a curva ao considerar a inclinação da função, resultando em uma estimativa mais precisa comparada à regra dos retângulos com menos subdivisões.
Exercícios relacionados
Deduza as fórmulas de integração de Newton-Cotes do tipo fechado quando o integrando
é interpolado por polinômios de grau 3 e grau 4 . Obtenha também as fórmulas repetidas para esses dois casos.
Seja
uma função definida no intervalo
. Se
for um polinômio de grau 3, qual será o erro que ocorrerá se integrarmos essa função via Regra
de Simpson Repetida? Justifique sua resposta.
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e determine o número de divisões necessárias para e obter uma aproximação com 5 casas decimais de precisão utilizando a Regra de Boole. Essa regra é uma fórmula de Newton-Cotes do tipo fechado onde o integrando é interpolado por um polinômio de grau 4 no intervalo de integração.
[1 Pontos] Mostre que a sequência
dada por
cuja lei de formação é
é crescente e limitada. Prove que
existe e calcule seu valor.