Considere a seguinte integral
integral0^2 e^-2 x sen(x) d x
e determine o número de divisões necessárias para e obter uma aproximação com 5 casas decimais de precisão utilizando a Regra de Boole. Essa regra é uma fórmula de Newton-Cotes do tipo fechado onde o integrando é interpolado por um polinômio de grau 4 no intervalo de integração.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de de 0 a 2 e descobrir quantas divisões são necessárias para usar a Regra de Boole e obter uma aproximação com 5 casas decimais de precisão. A Regra de Boole é uma técnica de integração numérica que usa um polinômio de quarto grau para aproximar a área sob a curva. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais, a Regra de Newton-Cotes (especificamente a Regra de Boole) e como estimar o erro para alcançar a precisão desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a Regra de Boole. Ela é uma fórmula de integração numérica que pertence ao grupo das regras de Newton-Cotes. A ideia é dividir o intervalo de integração em partes menores e usar um polinômio de quarto grau para aproximar a função em cada subintervalo. A Regra de Boole é dada por:
Aqui, integrala^b f(x) dx approx 2h45 [7f(x0) + 32f(x1) + 12f(x2) + 32f(x3) + 7f(x4] é o tamanho de cada subintervalo, e são os pontos onde a função é avaliada.

Passo 3

Para alcançar uma precisão de 5 casas decimais, precisamos garantir que o erro da aproximação seja menor que | E | <= 7(b - a)2880 h^4 maxa <= x <= b |f^(4)(x)| (metade do último dígito, para arredondar corretamente). O erro da Regra de Boole pode ser estimado pela fórmula:
Nosso objetivo é encontrar o número de subintervalos tal que esse erro seja menor que .

Passo 4

Primeiro, vamos identificar h = 2 - 0n = 2n em termos de . Se dividirmos o intervalo em subintervalos, cada subintervalo terá tamanho:
A Regra de Boole usa grupos de 4 subintervalos, então o número total de subintervalos deve ser múltiplo de 4.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a quarta derivada de f'(x) = e^-2x (cos(x) - 2sin(x)) para estimar f''(x) = e^-2x (-3cos(x) - 4sin(x)) no intervalo f'''(x) = e^-2x (-cos(x) + 10sin(x)) . Calculando as derivadas:
f^(4)(x) = e^-2x (11cos(x) + 20sin(x))
|f^(4)(x)| <= e^-2x (11|cos(x)| + 20|sin(x)|) <= e^0 (11 + 20) = 31
Agora, vamos encontrar o máximo valor absoluto dessa derivada no intervalo . Para simplificar, podemos estimar que:
(Sendo e )

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula do erro:
7(2 - 0)2880 h^4 times 31 <= 0.5 times 10^-5
Simplificando:
142880 h^4 times 31 <= 0.5 times 10^-5
4342880 h^4 <= 0.5 times 10^-5
h^4 <= 0.5 times 10^-5 times 2880434 approx 3.318 times 10^-3

Passo 7

Agora, resolvemos para h <= (3.318 times 10^-3)^1/4 approx 0.172 :
2n <= 0.172 implies n >= 20.172 approx 11.63
Como , temos:
Como deve ser múltiplo de 4, o próximo múltiplo de 4 após 11.63 é 12, mas 12 não é múltiplo de 4. O próximo múltiplo de 4 é 16.

Resposta

Precisamos dividir o intervalo em 16 subintervalos para obter uma aproximação com 5 casas decimais de precisão usando a Regra de Boole.

Exercícios relacionados

Considere o problema de calcular a integral
integral0^5 x^2 e^-x d x
e considere dois métodos de integração para obter uma aproximação para essa integral:
(a) Aplicar a RTR com N=100 divisões ou;
(b) Aplicar a RSR com 2 N=20 divisões.
Qual regra irá fornecer uma aproximação mais precisa ? Justifique sua resposta.
Deduza as fórmulas de integração de Newton-Cotes do tipo fechado quando o integrando f(x) é interpolado por polinômios de grau 3 e grau 4 . Obtenha também as fórmulas repetidas para esses dois casos.
[1 Pontos] Mostre que a sequência (an) dada por
a0=0, a1=raiz2, an=raiz2+raiz2, a3=raiz2+raiz2+raiz2, ldots
cuja lei de formação é
a0=0 e an+1=raiz2+an
é crescente e limitada. Prove que L=lim n +infty an existe e calcule seu valor.
Seja X uma variável aleatória com função distribuição dada por:
FX(x)= 0 & , se x<0 12 & , se 0 <= x<1 35 & , se 1 <= x<2 45 & , se 2 <= x<3 910 & , se 3 <= x<4 1 & , se x >= 4
Reescreva a função acima utilizando a função indicadora.