Considere a seguinte integral
e determine o número de divisões necessárias para e obter uma aproximação com 5 casas decimais de precisão utilizando a Regra de Boole. Essa regra é uma fórmula de Newton-Cotes do tipo fechado onde o integrando é interpolado por um polinômio de grau 4 no intervalo de integração.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de
de 0 a 2 e descobrir quantas divisões são necessárias para usar a Regra de Boole e obter uma aproximação com 5 casas decimais de precisão. A Regra de Boole é uma técnica de integração numérica que usa um polinômio de quarto grau para aproximar a área sob a curva. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais, a Regra de Newton-Cotes (especificamente a Regra de Boole) e como estimar o erro para alcançar a precisão desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a Regra de Boole. Ela é uma fórmula de integração numérica que pertence ao grupo das regras de Newton-Cotes. A ideia é dividir o intervalo de integração em partes menores e usar um polinômio de quarto grau para aproximar a função em cada subintervalo. A Regra de Boole é dada por:
Aqui,
é o tamanho de cada subintervalo, e
são os pontos onde a função é avaliada.
Passo 3
Para alcançar uma precisão de 5 casas decimais, precisamos garantir que o erro da aproximação seja menor que
(metade do último dígito, para arredondar corretamente). O erro da Regra de Boole pode ser estimado pela fórmula:
Nosso objetivo é encontrar o número de subintervalos
tal que esse erro seja menor que
.
Passo 4
Primeiro, vamos identificar
em termos de
. Se dividirmos o intervalo
em
subintervalos, cada subintervalo terá tamanho:
A Regra de Boole usa grupos de 4 subintervalos, então o número total de subintervalos
deve ser múltiplo de 4.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar a quarta derivada de
para estimar
no intervalo
. Calculando as derivadas:
Agora, vamos encontrar o máximo valor absoluto dessa derivada no intervalo
. Para simplificar, podemos estimar que:
(Sendo
e
)
Passo 6
Substituindo os valores na fórmula do erro:
Simplificando:
Passo 7
Agora, resolvemos para
:
Como
, temos:
Como
deve ser múltiplo de 4, o próximo múltiplo de 4 após 11.63 é 12, mas 12 não é múltiplo de 4. O próximo múltiplo de 4 é 16.
Resposta
Precisamos dividir o intervalo em 16 subintervalos para obter uma aproximação com 5 casas decimais de precisão usando a Regra de Boole.
Exercícios relacionados
Considere o problema de calcular a integral
e considere dois métodos de integração para obter uma aproximação para essa integral:
(a) Aplicar a RTR com divisões ou;
(b) Aplicar a RSR com divisões.
Qual regra irá fornecer uma aproximação mais precisa ? Justifique sua resposta.
(a) Aplicar a RTR com
(b) Aplicar a RSR com
Qual regra irá fornecer uma aproximação mais precisa ? Justifique sua resposta.
Deduza as fórmulas de integração de Newton-Cotes do tipo fechado quando o integrando
é interpolado por polinômios de grau 3 e grau 4 . Obtenha também as fórmulas repetidas para esses dois casos.
[1 Pontos] Mostre que a sequência
dada por
cuja lei de formação é
é crescente e limitada. Prove que
existe e calcule seu valor.
Seja
uma variável aleatória com função distribuição dada por:
Reescreva a função acima utilizando a função indicadora.