[1] Use o método dos mínimos quadrados para ajustar uma reta
aos dados da Tabela 1 :
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1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
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1,0 | 1,1 | 1,3 | 1,5 | 1,9 | 2,1 |
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1,84 | 1,96 | 2,21 | 2,45 | 2,94 | 3,18 |
Tabela 1
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o método dos mínimos quadrados para ajustar uma reta na forma
aos dados apresentados na Tabela 1. Isso faz parte do estudo de Regressão Linear, que ajuda a encontrar a melhor linha que representa a relação entre duas variáveis, nesse caso,
e
. Para resolver isso, vamos precisar calcular alguns valores básicos como soma de
, soma de
, soma de
, e soma de
.
Passo 2
Primeiro, vamos montar nossa tabela com os dados fornecidos e também calcular
e
para cada ponto:
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1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
---|---|---|---|---|---|---|
|
1,0 | 1,1 | 1,3 | 1,5 | 1,9 | 2,1 |
|
1,84 | 1,96 | 2,21 | 2,45 | 2,94 | 3,18 |
|
1,00 | 1,21 | 1,69 | 2,25 | 3,61 | 4,41 |
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1,84 | 2,16 | 2,873 | 3,675 | 5,586 | 6,678 |
Passo 3
Agora, vamos somar cada uma dessas colunas para facilitar os cálculos:
Passo 4
O método dos mínimos quadrados nos fornece duas equações para encontrar
e
:
Onde
é o número de pontos de dados. Neste caso,
.
Passo 5
Vamos substituir os valores que calculamos nas equações:
Passo 6
Para resolver esse sistema de equações, podemos usar o método da substituição ou da eliminação. Vamos optar pelo método da eliminação. Primeiro, multiplicamos a primeira equação por 8,9 para que possamos eliminar
:
Calculando:
Passo 7
Agora, vamos multiplicar a segunda equação por 6 para alinhar os coeficientes de
:
Passo 8
Subtraindo a primeira equação da segunda para eliminar
:
Simplificando:
Passo 9
Agora, resolvemos para
:
Passo 10
Com o valor de
, podemos substituir em uma das equações iniciais para encontrar
. Vamos usar a primeira equação:
Calculando:
Subtraindo 14,356 de ambos os lados:
Então:
Resposta
A reta que melhor ajusta os dados pelo método dos mínimos quadrados é: