[1] Use o método dos mínimos quadrados para ajustar uma reta (g(x)=a1+a2 cdot x) aos dados da Tabela 1 :
i 1 2 3 4 5 6
xi 1,0 1,1 1,3 1,5 1,9 2,1
yi 1,84 1,96 2,21 2,45 2,94 3,18
Tabela 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o método dos mínimos quadrados para ajustar uma reta na forma aos dados apresentados na Tabela 1. Isso faz parte do estudo de Regressão Linear, que ajuda a encontrar a melhor linha que representa a relação entre duas variáveis, nesse caso, e . Para resolver isso, vamos precisar calcular alguns valores básicos como soma de , soma de , soma de , e soma de .

Passo 2

Primeiro, vamos montar nossa tabela com os dados fornecidos e também calcular e para cada ponto:
1 2 3 4 5 6
1,0 1,1 1,3 1,5 1,9 2,1
1,84 1,96 2,21 2,45 2,94 3,18
1,00 1,21 1,69 2,25 3,61 4,41
1,84 2,16 2,873 3,675 5,586 6,678

Passo 3

Agora, vamos somar cada uma dessas colunas para facilitar os cálculos:

Passo 4

O método dos mínimos quadrados nos fornece duas equações para encontrar n cdot a1 + ( sum xi ) a2 = sum yi ( sum xi ) a1 + ( sum xi^2 ) a2 = sum xi cdot yi e :
Onde é o número de pontos de dados. Neste caso, .

Passo 5

Vamos substituir os valores que calculamos nas equações:
6 cdot a1 + 8,9 cdot a2 = 14,58 8,9 cdot a1 + 13,97 cdot a2 = 22,837

Passo 6

Para resolver esse sistema de equações, podemos usar o método da substituição ou da eliminação. Vamos optar pelo método da eliminação. Primeiro, multiplicamos a primeira equação por 8,9 para que possamos eliminar (6 cdot 8,9) a1 + (8,9 cdot 8,9) a2 = 14,58 cdot 8,9 8,9 cdot a1 + 13,97 cdot a2 = 22,837 :
53,4 cdot a1 + 79,21 cdot a2 = 129,582 8,9 cdot a1 + 13,97 cdot a2 = 22,837
Calculando:

Passo 7

Agora, vamos multiplicar a segunda equação por 6 para alinhar os coeficientes de 53,4 cdot a1 + 79,21 cdot a2 = 129,582 53,4 cdot a1 + 83,82 cdot a2 = 137,022 :

Passo 8

Subtraindo a primeira equação da segunda para eliminar (53,4 cdot a1 + 83,82 cdot a2) - (53,4 cdot a1 + 79,21 cdot a2) = 137,022 - 129,582 :
4,61 cdot a2 = 7,44
Simplificando:

Passo 9

Agora, resolvemos para a2 = 7,444,61 approx 1,614 :

Passo 10

Com o valor de 6 cdot a1 + 8,9 cdot 1,614 = 14,58 , podemos substituir em uma das equações iniciais para encontrar 6 cdot a1 + 14,356 = 14,58 . Vamos usar a primeira equação:
6 cdot a1 = 0,224
Calculando:
a1 = 0,2246 approx 0,0373
Subtraindo 14,356 de ambos os lados:
Então:

Resposta

A reta que melhor ajusta os dados pelo método dos mínimos quadrados é:
g(x) = 0,0373 + 1,614 cdot x

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