Utilize o método gráfico para isolar as raízes das funções. Escreva um intervalo que contenha cada raiz.
e) f(x)=ln x-2 cos x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de matemática que pede para a gente usar o método gráfico para encontrar onde a função cruza o eixo x, ou seja, onde . Isso envolve entender um pouco de cálculo e funções trigonométricas. Vamos precisar analisar o comportamento da função e ver em quais intervalos ela muda de sinal, indicando que há uma raiz ali.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o domínio da função . A função logarítmica só está definida para . Já a função cosseno está sempre definida para qualquer valor de . Então, nosso domínio é .

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento da função nos limites extremos do domínio:
  • Quando se aproxima de 0 pelo lado positivo ( ):
    • tende para .
    • tende para (já que ).
    • Então, tende para .
  • Quando tende para :
    • cresce sem limite.
    • oscila entre e .
    • Então, tende para .

Passo 4

Vamos agora calcular alguns valores de em pontos específicos para identificar onde a função muda de sinal:
  • Em :
  • Em :
Vemos que:
  • Em , .
  • Em , .
Isso indica que existe uma raiz entre e .

Passo 5

Vamos verificar mais um ponto para ter certeza:
  • Em :
Como e já vimos que , não há mudança de sinal nesse intervalo. Assim, confirmamos que há apenas uma raiz entre e .

Resposta

A função tem uma raiz no intervalo .

Exercícios relacionados