d 5 7.5 10 12.5 15
E 26 11.56 6.5 4.16 2.88
Calcule a intensidade do campo elétrico em um ponto situado a 8.5 cm da carga utilizando um Polinômio de Lagrange que contemple todos os pontos dados na tabela.

Passo 1

Vamos resolver um problema onde precisamos calcular a intensidade do campo elétrico em um ponto que está a 8,5 cm de uma carga. Para isso, vamos utilizar o Polinômio de Lagrange, que nos ajuda a estimar valores entre os pontos conhecidos de uma tabela. Aqui, temos uma tabela com distâncias e os respectivos valores de . Vamos precisar entender como aplicar o Polinômio de Lagrange para interpolar o valor de em cm.

Passo 2

Primeiro, vamos listar os pontos que temos na tabela:
|c|c| hline d (cm) & E hline 5 & 26 7,5 & 11,56 10 & 6,5 12,5 & 4,16 15 & 2,88 hline
Queremos encontrar quando cm usando o Polinômio de Lagrange que passa por todos esses pontos.

Passo 3

O Polinômio de Lagrange para interpolação é dado por:
P(x) = sumi=0^n Ei cdot Li(x)
onde Li(x) = prodsubstackj=0 j neq i^n x - djdi - dj são os polinômios de Lagrange definidos por:
Neste caso, temos 5 pontos, então . Vamos calcular cada .

Passo 4

Vamos calcular L0(8,5) = (8,5 - 7,5)(8,5 - 10)(8,5 - 12,5)(8,5 - 15)(5 - 7,5)(5 - 10)(5 - 12,5)(5 - 15) :
L0(8,5) = (1)(-1,5)(-4)(-6,5)(-2,5)(-5)(-7,5)(-10) = 1 times (-1,5) times (-4) times (-6,5)(-2,5) times (-5) times (-7,5) times (-10)
Calculando cada termo:
L0(8,5) = 1 times (-1,5) times (-4) times (-6,5)(-2,5) times (-5) times (-7,5) times (-10) = (-1,5)(-4)(-6,5)(-2,5)(-5)(-7,5)(-10)
L0(8,5) = -1,5 times -4 times -6,5-2,5 times -5 times -7,5 times -10 = -39937,5 approx -0,0416
Continuando os cálculos, observamos que os sinais cancelam:

Passo 5

Repetimos o mesmo processo para L1(8,5) = (8,5 - 5)(8,5 - 10)(8,5 - 12,5)(8,5 - 15)(7,5 - 5)(7,5 - 10)(7,5 - 12,5)(7,5 - 15) :
L1(8,5) = (3,5)(-1,5)(-4)(-6,5)(2,5)(-2,5)(-5)(-7,5)
Calculando cada termo:
L1(8,5) = 3,5 times (-1,5) times (-4) times (-6,5)2,5 times (-2,5) times (-5) times (-7,5) = -136,5468,75 approx -0,291
Simplificando os sinais:

Passo 6

Agora, calculamos L2(8,5) = (8,5 - 5)(8,5 - 7,5)(8,5 - 12,5)(8,5 - 15)(10 - 5)(10 - 7,5)(10 - 12,5)(10 - 15) :
L2(8,5) = 3,5 times 1 times (-4) times (-6,5)5 times 2,5 times (-2,5) times (-5)
Calculando cada termo:
L2(8,5) = 3,5 times 1 times (-4) times (-6,5)5 times 2,5 times (-2,5) times (-5) = 91156,25 approx 0,584
Simplificando os sinais:

Passo 7

Em seguida, calculamos L3(8,5) = (8,5 - 5)(8,5 - 7,5)(8,5 - 10)(8,5 - 15)(12,5 - 5)(12,5 - 7,5)(12,5 - 10)(12,5 - 15) :
L3(8,5) = 3,5 times 1 times (-1,5) times (-6,5)7,5 times 5 times 2,5 times (-2,5)
Calculando cada termo:
L3(8,5) = 3,5 times 1 times (-1,5) times (-6,5)7,5 times 5 times 2,5 times (-2,5) = 34,125-234,375 approx -0,145
Simplificando os sinais:

Passo 8

Por fim, calculamos L4(8,5) = (8,5 - 5)(8,5 - 7,5)(8,5 - 10)(8,5 - 12,5)(15 - 5)(15 - 7,5)(15 - 10)(15 - 12,5) :
L4(8,5) = 3,5 times 1 times (-1,5) times (-4)10 times 7,5 times 5 times 2,5
Calculando cada termo:
L4(8,5) = 3,5 times 1 times (-1,5) times (-4)10 times 7,5 times 5 times 2,5 = 21937,5 approx 0,0224
Simplificando os sinais:

Passo 9

Agora, aplicamos o Polinômio de Lagrange:
E(8,5) = E0 cdot L0(8,5) + E1 cdot L1(8,5) + E2 cdot L2(8,5) + E3 cdot L3(8,5) + E4 cdot L4(8,5)
Substituindo os valores:
E(8,5) = 26 times (-0,0416) + 11,56 times (-0,291) + 6,5 times 0,584 + 4,16 times (-0,145) + 2,88 times 0,0224
Calculando cada termo:
E(8,5) = -1,0816 + (-3,360) + 3,796 + (-0,6032) + 0,0643
Somando todos os termos:
E(8,5) approx -1,0816 - 3,360 + 3,796 - 0,6032 + 0,0643 approx -1,1845

Resposta

A intensidade do campo elétrico em um ponto situado a 8,5 cm da carga é aproximadamente unidades.

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