Resolva o sistema pelo método de Gauss-Jacobi com erro
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss-Jacobi. Primeiro, vamos entender o que temos aqui. O enunciado nos dá um sistema de três equações lineares com três incógnitas (
,
,
):
Vamos usar o método iterativo de Gauss-Jacobi para encontrar as soluções aproximadas das incógnitas, com um erro aceitável de 5%.
Passo 2
Primeiro, precisamos reorganizar cada equação para isolar uma das incógnitas em termos das outras. Isso nos dá as fórmulas para as próximas iterações. Vamos isolar
,
e
respectivamente:
Para a primeira equação:
Para a segunda equação:
Para a terceira equação:
Passo 3
Agora, vamos precisar de valores iniciais para começar as iterações. Se não tiver valores fornecidos, podemos assumir valores iniciais de zero para todas as incógnitas:
Passo 4
Vamos fazer a primeira iteração usando os valores iniciais. Substituímos
e
na fórmula de
, e assim por diante:
Passo 5
Agora, usamos os valores da primeira iteração (
) para calcular a segunda iteração:
Passo 6
Continuamos esse processo iterativamente até que as mudanças nos valores das incógnitas sejam menores que o erro permitido de 5%. Calculamos a terceira iteração:
Passo 7
Verificamos a diferença entre os valores das iterações anteriores e atuais para cada incógnita:
Para
:
Para :
Para :
Para
Para
Calculamos a porcentagem de erro para cada:
Como ainda não atingimos o erro de 5% para todas as incógnitas, precisamos continuar iterando.
Passo 8
Fazemos mais uma iteração com os valores mais recentes:
Passo 9
Novamente, verificamos as diferenças e os erros:
Para
:
Para :
Para :
Para
Para
Porcentagem de erro:
Agora, todas as incógnitas têm erro menor ou igual a 5%, então podemos parar as iterações.
Resposta
As soluções aproximadas para o sistema são: