Resolva o sistema pelo método de Gauss-Jacobi com erro
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss-Jacobi. Primeiro, vamos entender o que temos aqui. O enunciado nos dá um sistema de três equações lineares com três incógnitas (
,
,
):
Vamos usar o método iterativo de Gauss-Jacobi para encontrar as soluções aproximadas das incógnitas, com um erro aceitável de 5%.
Passo 2
Primeiro, precisamos reorganizar cada equação para isolar uma das incógnitas em termos das outras. Isso nos dá as fórmulas para as próximas iterações. Vamos isolar
,
e
respectivamente:
Para a primeira equação:
Para a segunda equação:
Para a terceira equação:
Passo 3
Agora, vamos precisar de valores iniciais para começar as iterações. Se não tiver valores fornecidos, podemos assumir valores iniciais de zero para todas as incógnitas:
Passo 4
Vamos fazer a primeira iteração usando os valores iniciais. Substituímos
e
na fórmula de
, e assim por diante:
Passo 5
Agora, usamos os valores da primeira iteração (
) para calcular a segunda iteração:
Passo 6
Continuamos esse processo iterativamente até que as mudanças nos valores das incógnitas sejam menores que o erro permitido de 5%. Calculamos a terceira iteração:
Passo 7
Verificamos a diferença entre os valores das iterações anteriores e atuais para cada incógnita:
Para
:
Para :
Para :
Para
Para
Calculamos a porcentagem de erro para cada:
Como ainda não atingimos o erro de 5% para todas as incógnitas, precisamos continuar iterando.
Passo 8
Fazemos mais uma iteração com os valores mais recentes:
Passo 9
Novamente, verificamos as diferenças e os erros:
Para
:
Para :
Para :
Para
Para
Porcentagem de erro:
Agora, todas as incógnitas têm erro menor ou igual a 5%, então podemos parar as iterações.
Resposta
As soluções aproximadas para o sistema são:
Exercícios relacionados
O vetor
é perpendicular ao
e ao
. Também sabe-se que
. Use a fatoração LU para descobrir os valores de
e
.
Dados os valores:
/ano,
, e
. Use o método da secante modificado para resolver para a concentração de estado estacionário. Empregue um valor inicial de
e
. Realize três iterações e determine o erro relativo depois da terceira iteração.
d | 5 | 7.5 | 10 | 12.5 | 15 |
---|---|---|---|---|---|
E | 26 | 11.56 | 6.5 | 4.16 | 2.88 |
Calcule a intensidade do campo elétrico em um ponto situado a 8.5 cm da carga utilizando um Polinômio de Lagrange que contemple todos os pontos dados na tabela.
|
0 | 8 | 16 | 24 | 32 | 40 |
---|---|---|---|---|---|---|
|
14.621 | 11.843 | 9.870 | 8.418 | 7.305 | 6.413 |
Estime a concentração em uma temperatura de
utilizando o método das diferenças divididas de Newton com interpolação polinomial.