15 c1-3 c2-c3 & =3800 -3 c1+18 c2-6 c3 & =1200 -4 c1-c2+12 c3 & =2350
Resolva o sistema pelo método de Gauss-Jacobi com erro varepsilon=5 %.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss-Jacobi. Primeiro, vamos entender o que temos aqui. O enunciado nos dá um sistema de três equações lineares com três incógnitas ( 15 c1-3 c2-c3 & =3800 -3 c1+18 c2-6 c3 & =1200 -4 c1-c2+12 c3 & =2350 , , ):
Vamos usar o método iterativo de Gauss-Jacobi para encontrar as soluções aproximadas das incógnitas, com um erro aceitável de 5%.

Passo 2

Primeiro, precisamos reorganizar cada equação para isolar uma das incógnitas em termos das outras. Isso nos dá as fórmulas para as próximas iterações. Vamos isolar c1 = 3800 + 3 c2 + c315 , c2 = 1200 + 3 c1 + 6 c318 e c3 = 2350 + 4 c1 + c212 respectivamente:
Para a primeira equação:
Para a segunda equação:
Para a terceira equação:

Passo 3

Agora, vamos precisar de valores iniciais para começar as iterações. Se não tiver valores fornecidos, podemos assumir valores iniciais de zero para todas as incógnitas:
c1^(0) = 0, c2^(0) = 0, c3^(0) = 0

Passo 4

Vamos fazer a primeira iteração usando os valores iniciais. Substituímos c1^(1) = 3800 + 3(0) + 015 = 380015 approx 253.33 e c2^(1) = 1200 + 3(0) + 6(0)18 = 120018 approx 66.67 na fórmula de c3^(1) = 2350 + 4(0) + 012 = 235012 approx 195.83 , e assim por diante:

Passo 5

Agora, usamos os valores da primeira iteração ( c1^(2) = 3800 + 3(66.67) + 195.8315 approx 3800 + 200 + 195.8315 approx 4195.8315 approx 279.72 ) para calcular a segunda iteração:
c2^(2) = 1200 + 3(253.33) + 6(195.83)18 approx 1200 + 760 + 117518 approx 313518 approx 174.17
c3^(2) = 2350 + 4(253.33) + 66.6712 approx 2350 + 1013.32 + 66.6712 approx 3429.9912 approx 285.83

Passo 6

Continuamos esse processo iterativamente até que as mudanças nos valores das incógnitas sejam menores que o erro permitido de 5%. Calculamos a terceira iteração:
c1^(3) = 3800 + 3(174.17) + 285.8315 approx 3800 + 522.51 + 285.8315 approx 4608.3415 approx 307.22
c2^(3) = 1200 + 3(279.72) + 6(285.83)18 approx 1200 + 839.16 + 1714.9818 approx 3754.1418 approx 208.56
c3^(3) = 2350 + 4(279.72) + 174.1712 approx 2350 + 1118.88 + 174.1712 approx 3643.0512 approx 303.59

Passo 7

Verificamos a diferença entre os valores das iterações anteriores e atuais para cada incógnita:
Para Erro c1 approx 27.50307.22 times 100 approx 8.95% Erro c2 approx 34.39208.56 times 100 approx 16.49% Erro c3 approx 17.76303.59 times 100 approx 5.84% :
Para :
Para :
Calculamos a porcentagem de erro para cada:
Como ainda não atingimos o erro de 5% para todas as incógnitas, precisamos continuar iterando.

Passo 8

Fazemos mais uma iteração com os valores mais recentes:
c1^(4) = 3800 + 3(208.56) + 303.5915 approx 3800 + 625.68 + 303.5915 approx 4729.2715 approx 315.28
c2^(4) = 1200 + 3(307.22) + 6(303.59)18 approx 1200 + 921.66 + 1821.5418 approx 3943.2018 approx 219.07
c3^(4) = 2350 + 4(307.22) + 208.5612 approx 2350 + 1228.88 + 208.5612 approx 3787.4412 approx 315.62

Passo 9

Novamente, verificamos as diferenças e os erros:
Para Erro c1 approx 8.06307.22 times 100 approx 2.62% Erro c2 approx 10.51208.56 times 100 approx 5.04% Erro c3 approx 12.03303.59 times 100 approx 3.96% :
Para :
Para :
Porcentagem de erro:
Agora, todas as incógnitas têm erro menor ou igual a 5%, então podemos parar as iterações.

Resposta

As soluções aproximadas para o sistema são:
c1 approx 315.28 c2 approx 219.07 c3 approx 315.62

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