T^circ C 0 8 16 24 32 40
0, mg / L 14.621 11.843 9.870 8.418 7.305 6.413
Estime a concentração em uma temperatura de 27^circ C utilizando o método das diferenças divididas de Newton com interpolação polinomial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma tabela relacionando a temperatura em graus Celsius com a concentração em mg/L. A gente precisa achar qual seria a concentração quando a temperatura for 27^circ C usando o método das diferenças divididas de Newton com interpolação polinomial. Isso envolve criar um polinômio que passa por todos esses pontos e usar ele para estimar o valor que a gente quer.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que temos:
|c|c| hline T^circ C & Concentração (mg/L) hline 0 & 14.621 8 & 11.843 16 & 9.870 24 & 8.418 32 & 7.305 40 & 6.413 hline çã

Passo 3

No método das diferenças divididas de Newton, a gente constrói uma tabela onde, além dos valores de T e concentração C, calculamos as diferenças divididas necessárias para formar o polinômio de interpolação. Vamos montar essa tabela passo a passo.

Passo 4

Primeiro, colocamos as temperaturas e as concentrações:
|c|c| hline T & C hline 0 & 14.621 8 & 11.843 16 & 9.870 24 & 8.418 32 & 7.305 40 & 6.413 hline

Passo 5

Agora, calculamos as primeiras diferenças divididas. A fórmula para a diferença dividida de primeira ordem entre dois pontos (Ti, Ci) e (Ti+1, Ci+1) é:
f[Ti, Ti+1] = Ci+1 - CiTi+1 - Ti
Vamos calcular:
f[0,8] = 11.843 - 14.6218 - 0 = -2.7788 = -0.34725
f[8,16] = 9.870 - 11.84316 - 8 = -1.9738 = -0.246625
f[16,24] = 8.418 - 9.87024 - 16 = -1.4528 = -0.1815
f[24,32] = 7.305 - 8.41832 - 24 = -1.1138 = -0.139125
f[32,40] = 6.413 - 7.30540 - 32 = -0.8928 = -0.1115

Passo 6

Agora, calculamos as diferenças divididas de segunda ordem usando as de primeira ordem:
f[Ti, Ti+1, Ti+2] = f[Ti+1, Ti+2] - f[Ti, Ti+1]Ti+2 - Ti
Por exemplo:
f[0,8,16] = -0.246625 - (-0.34725)16 - 0 = 0.10062516 = 0.006289
E assim por diante para as demais:
f[8,16,24] = -0.1815 - (-0.246625)24 - 8 = 0.06512516 = 0.00407
f[16,24,32] = -0.139125 - (-0.1815)32 - 16 = 0.04237516 = 0.002648
f[24,32,40] = -0.1115 - (-0.139125)40 - 24 = 0.02762516 = 0.001727

Passo 7

Continuamos com as diferenças de terceira ordem:
f[0,8,16,24] = 0.00407 - 0.00628924 - 0 = -0.00221924 = -0.000092458
f[8,16,24,32] = 0.002648 - 0.0040732 - 8 = -0.00142224 = -0.00005925
f[16,24,32,40] = 0.001727 - 0.00264840 - 16 = -0.00092124 = -0.000038375

Passo 8

Diferenças de quarta ordem:
f[0,8,16,24,32] = -0.00005925 - (-0.000092458)32 - 0 = 0.00003320832 = 0.00000103775
f[8,16,24,32,40] = -0.000038375 - (-0.00005925)40 - 8 = 0.00002087532 = 0.000000651

Passo 9

Diferença de quinta ordem:
f[0,8,16,24,32,40] = 0.000000651 - 0.0000010377540 - 0 = -0.0000003867540 = -0.00000000966875

Passo 10

Agora que temos todas as diferenças divididas, podemos construir o polinômio de interpolação de Newton:
P(T) = f[T0] + f[T0,T1](T - T0) + f[T0,T1,T2](T - T0)(T - T1) + dots
Substituindo os valores que calculamos:
P(T) = 14.621 + (-0.34725)(T - 0) + 0.006289(T - 0)(T - 8) + (-0.000092458)(T - 0)(T - 8)(T - 16) + dots
Para simplificar, vamos considerar até a terceira diferença dividida, já que as demais são muito pequenas e o polinômio já deve dar uma boa aproximação.

Passo 11

Agora, substituímos T = 27 no polinômio:
P(27) = 14.621 + (-0.34725)(27) + 0.006289(27)(27 - 8) + (-0.000092458)(27)(27 - 8)(27 - 16)
Calculando cada termo:
-0.34725 times 27 = -9.37275
0.006289 times 27 times 19 = 0.006289 times 513 = 3.228
-0.000092458 times 27 times 19 times 11 = -0.000092458 times 5643 = -0.5218
Somando tudo:
P(27) = 14.621 - 9.37275 + 3.228 - 0.5218 = 7.95445 , mg/L

Resposta

A concentração estimada em 27^circ C é aproximadamente 7.95 , mg/L.

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