0 8 16 24 32 40
14.621 11.843 9.870 8.418 7.305 6.413
Estime a concentração em uma temperatura de utilizando o método das diferenças divididas de Newton com interpolação polinomial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma tabela relacionando a temperatura em graus Celsius com a concentração em mg/L. A gente precisa achar qual seria a concentração quando a temperatura for usando o método das diferenças divididas de Newton com interpolação polinomial. Isso envolve criar um polinômio que passa por todos esses pontos e usar ele para estimar o valor que a gente quer.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que temos:
çã

Passo 3

No método das diferenças divididas de Newton, a gente constrói uma tabela onde, além dos valores de e concentração , calculamos as diferenças divididas necessárias para formar o polinômio de interpolação. Vamos montar essa tabela passo a passo.

Passo 4

Primeiro, colocamos as temperaturas e as concentrações:

Passo 5

Agora, calculamos as primeiras diferenças divididas. A fórmula para a diferença dividida de primeira ordem entre dois pontos e é:
Vamos calcular:

Passo 6

Agora, calculamos as diferenças divididas de segunda ordem usando as de primeira ordem:
Por exemplo:
E assim por diante para as demais:

Passo 7

Continuamos com as diferenças de terceira ordem:

Passo 8

Diferenças de quarta ordem:

Passo 9

Diferença de quinta ordem:

Passo 10

Agora que temos todas as diferenças divididas, podemos construir o polinômio de interpolação de Newton:
Substituindo os valores que calculamos:
Para simplificar, vamos considerar até a terceira diferença dividida, já que as demais são muito pequenas e o polinômio já deve dar uma boa aproximação.

Passo 11

Agora, substituímos no polinômio:
Calculando cada termo:
Somando tudo:

Resposta

A concentração estimada em é aproximadamente .

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