O vetor é perpendicular ao e ao . Também sabe-se que . Use a fatoração LU para descobrir os valores de e .

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos três vetores:
Sabemos que o vetor é perpendicular aos vetores e , e que o produto escalar de com é 2. Queremos encontrar os valores de , e usando a fatoração LU. Para resolver isso, vamos precisar entender como vetores perpendiculares e o produto escalar funcionam, além de usar a fatoração LU para resolver sistemas de equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que dois vetores são perpendiculares se o produto escalar entre eles for zero. Ou seja, se e .
Vamos calcular esses produtos escalares:
Isso nos dá duas equações:

Passo 3

Além disso, sabemos que o produto escalar de com é 2:
Isso nos dá mais uma equação:
Agora temos um sistema de três equações com três incógnitas ( , , ):

Passo 4

Vamos organizar esse sistema em forma matricial para aplicar a fatoração LU. A matriz dos coeficientes e o vetor dos termos constantes ficam assim:
Note que reorganizamos as equações para que as incógnitas apareçam na ordem , , .

Passo 5

Agora, vamos aplicar a fatoração LU, que decompõe a matriz em uma matriz triangular inferior e uma matriz triangular superior . Esse processo facilita a resolução do sistema de equações.
Após realizar os cálculos da fatoração LU (que envolvem operações de eliminação para transformar em e registrar os multiplicadores na matriz ), obtemos:

Passo 6

Com as matrizes e , resolvemos o sistema em duas etapas:
  1. Resolver para .
  2. Resolver para .
Primeiro, resolvemos :
Substituindo na segunda equação:
Agora, substituindo na terceira equação:
Então, temos .

Passo 7

Agora, resolvemos :
Da terceira equação:
Substituindo na segunda equação:
Finalmente, substituindo na primeira equação:

Resposta

Os valores são , e .

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