O vetor é perpendicular ao e ao . Também sabe-se que . Use a fatoração LU para descobrir os valores de e .
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos três vetores:
Sabemos que o vetor é perpendicular aos vetores e , e que o produto escalar de com é 2. Queremos encontrar os valores de , e usando a fatoração LU. Para resolver isso, vamos precisar entender como vetores perpendiculares e o produto escalar funcionam, além de usar a fatoração LU para resolver sistemas de equações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que dois vetores são perpendiculares se o produto escalar entre eles for zero. Ou seja, se e .
Vamos calcular esses produtos escalares:
Isso nos dá duas equações:
Passo 3
Além disso, sabemos que o produto escalar de com é 2:
Isso nos dá mais uma equação:
Agora temos um sistema de três equações com três incógnitas (, , ):
Passo 4
Vamos organizar esse sistema em forma matricial para aplicar a fatoração LU. A matriz dos coeficientes e o vetor dos termos constantes ficam assim:
Note que reorganizamos as equações para que as incógnitas apareçam na ordem , , .
Passo 5
Agora, vamos aplicar a fatoração LU, que decompõe a matriz em uma matriz triangular inferior e uma matriz triangular superior . Esse processo facilita a resolução do sistema de equações.
Após realizar os cálculos da fatoração LU (que envolvem operações de eliminação para transformar em e registrar os multiplicadores na matriz ), obtemos:
Passo 6
Com as matrizes e , resolvemos o sistema em duas etapas: