& A=2 i-3 j+a k & B=b i+j-4 k & C=3 i+c j+2 k
O vetor A é perpendicular ao B e ao C. Também sabe-se que B cdot C=2. Use a fatoração LU para descobrir os valores de a, b e c.

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos três vetores:
& A=2 i-3 j+a k & B=b i+j-4 k & C=3 i+c j+2 k
Sabemos que o vetor A é perpendicular aos vetores B e C, e que o produto escalar de B com C é 2. Queremos encontrar os valores de a, b e c usando a fatoração LU. Para resolver isso, vamos precisar entender como vetores perpendiculares e o produto escalar funcionam, além de usar a fatoração LU para resolver sistemas de equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que dois vetores são perpendiculares se o produto escalar entre eles for zero. Ou seja, se A cdot B = 0 e A cdot C = 0.
Vamos calcular esses produtos escalares:
A cdot B = (2)(b) + (-3)(1) + (a)(-4) = 2b - 3 - 4a = 0
A cdot C = (2)(3) + (-3)(c) + (a)(2) = 6 - 3c + 2a = 0
Isso nos dá duas equações:
  1. 2b - 4a = 3
  2. 2a - 3c = -6

Passo 3

Além disso, sabemos que o produto escalar de B com C é 2:
B cdot C = (b)(3) + (1)(c) + (-4)(2) = 3b + c - 8 = 2
Isso nos dá mais uma equação:
  1. 3b + c = 10
Agora temos um sistema de três equações com três incógnitas ( a, b, c):
2b - 4a = 3 2a - 3c = -6 3b + c = 10

Passo 4

Vamos organizar esse sistema em forma matricial para aplicar a fatoração LU. A matriz dos coeficientes A e o vetor dos termos constantes D ficam assim:
A = -4 & 2 & 0 2 & 0 & -3 0 & 3 & 1 , D = 3 -6 10
Note que reorganizamos as equações para que as incógnitas apareçam na ordem a, b, c.

Passo 5

Agora, vamos aplicar a fatoração LU, que decompõe a matriz A em uma matriz triangular inferior L e uma matriz triangular superior U. Esse processo facilita a resolução do sistema de equações.
Após realizar os cálculos da fatoração LU (que envolvem operações de eliminação para transformar A em U e registrar os multiplicadores na matriz L), obtemos:
L = 1 & 0 & 0 -0.5 & 1 & 0 0 & 0.6 & 1 , U = -4 & 2 & 0 0 & 1 & -3 0 & 0 & -0.8

Passo 6

Com as matrizes L e U, resolvemos o sistema em duas etapas:
  1. Resolver Ly = D para y.
  2. Resolver Ux = y para x.
Primeiro, resolvemos Ly = D:
y1 = 3 -0.5y1 + y2 = -6 0.6y2 + y3 = 10
Substituindo y1 = 3 na segunda equação:
-0.5(3) + y2 = -6 implies y2 = -6 + 1.5 = -4.5
Agora, substituindo y2 = -4.5 na terceira equação:
0.6(-4.5) + y3 = 10 implies -2.7 + y3 = 10 implies y3 = 12.7
Então, temos y = 3 -4.5 12.7 .

Passo 7

Agora, resolvemos Ux = y:
-4a + 2b = 3 b - 3c = -4.5 -0.8c = 12.7
Da terceira equação:
-0.8c = 12.7 implies c = 12.7-0.8 = -15.875
Substituindo c = -15.875 na segunda equação:
b - 3(-15.875) = -4.5 implies b + 47.625 = -4.5 implies b = -4.5 - 47.625 = -52.125
Finalmente, substituindo b = -52.125 na primeira equação:
-4a + 2(-52.125) = 3 implies -4a - 104.25 = 3 implies -4a = 107.25 implies a = -26.8125

Resposta

Os valores são a = -26.8125, b = -52.125 e c = -15.875.

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