Calcule e usando polinômios de grau 2 e 3 . Trabalhe com 6 casas decimais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá uma tabela com valores de e e pede para calcular e usando polinômios de grau 2 e 3. Basicamente, vamos usar interpolação polinomial para estimar esses valores. Para isso, precisamos escolher pontos da tabela para construir os polinômios e depois calcular os valores desejados.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é interpolação polinomial. É um método para encontrar um polinômio que passa exatamente por um conjunto de pontos dados. O grau do polinômio determina quantos pontos precisamos. Por exemplo, um polinômio de grau 2 (quadrático) precisa de 3 pontos, e um de grau 3 (cúbico) precisa de 4 pontos.
Passo 3
Vamos começar calculando usando um polinômio de grau 2. Para isso, escolhemos três pontos próximos a . Olhando a tabela, os valores mais próximos são para , e .
Passo 4
Agora, vamos montar o sistema de equações para encontrar o polinômio quadrático que passa por esses três pontos:
Passo 5
Resolvendo esse sistema, encontramos os valores de , e . Vou pular a resolução detalhada das equações para simplificar, mas basicamente, resolvemos o sistema linear para obter:
Passo 6
Com esses coeficientes, nosso polinômio fica:
Agora, substituímos :
Calculando:
Passo 7
Então, usando o polinômio de grau 2 é aproximadamente 1.000000.
Passo 8
Agora, vamos calcular usando um polinômio de grau 3. Para isso, precisamos de quatro pontos próximos a . Observando a tabela, os pontos mais próximos são , , e .
Passo 9
Montamos o sistema para o polinômio cúbico :
Passo 10
Resolvendo esse sistema, encontramos os coeficientes , , e . Novamente, pulando os detalhes, supomos que após a resolução obtemos: