0 5 10 15 20 25 30 35 40
0.9999 0.9998 0.9997 0.9991 0.9982 0.9971 0.9957 0.9941 0.9902
Calcule e usando polinômios de grau 2 e 3 . Trabalhe com 6 casas decimais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá uma tabela com valores de e e pede para calcular e usando polinômios de grau 2 e 3. Basicamente, vamos usar interpolação polinomial para estimar esses valores. Para isso, precisamos escolher pontos da tabela para construir os polinômios e depois calcular os valores desejados.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é interpolação polinomial. É um método para encontrar um polinômio que passa exatamente por um conjunto de pontos dados. O grau do polinômio determina quantos pontos precisamos. Por exemplo, um polinômio de grau 2 (quadrático) precisa de 3 pontos, e um de grau 3 (cúbico) precisa de 4 pontos.

Passo 3

Vamos começar calculando usando um polinômio de grau 2. Para isso, escolhemos três pontos próximos a . Olhando a tabela, os valores mais próximos são para , e .

Passo 4

Agora, vamos montar o sistema de equações para encontrar o polinômio quadrático que passa por esses três pontos:

Passo 5

Resolvendo esse sistema, encontramos os valores de , e . Vou pular a resolução detalhada das equações para simplificar, mas basicamente, resolvemos o sistema linear para obter:

Passo 6

Com esses coeficientes, nosso polinômio fica:
Agora, substituímos :
Calculando:

Passo 7

Então, usando o polinômio de grau 2 é aproximadamente 1.000000.

Passo 8

Agora, vamos calcular usando um polinômio de grau 3. Para isso, precisamos de quatro pontos próximos a . Observando a tabela, os pontos mais próximos são , , e .

Passo 9

Montamos o sistema para o polinômio cúbico :

Passo 10

Resolvendo esse sistema, encontramos os coeficientes , , e . Novamente, pulando os detalhes, supomos que após a resolução obtemos:

Passo 11

Com esses valores, o polinômio fica:
Substituindo :
Calculando:
Arredondando para 6 casas decimais:

Resposta

  • usando polinômio de grau 2: 1.000000
  • usando polinômio de grau 3: 1.012355

Exercícios relacionados

-1 1
e responda:
(a) Qual é o grau máximo do polinômio que interpola a função dada na tabela? Justifique sua resposta.
(b) Obtenha o polinômio que interpola a função dada na tabela lembrando que o valores que o polinômio e sua derivada tem que assumir nos pontos tabelados tem que coincidir.
Considere o problema de calcular a integral
Ajuste o integrando por um polinômio de grau 3. Para obter esse polinômio, divida o intervalo de integração em 5 partes iguais sendo , e monte uma tabela com os valores do integrando nesses 5 pontos, considerando 3 casas decimais. Para resolver o sistema linear do problema, utilize o Método de Eliminação de Gauss com Pivoteamento Parcial. Calcule uma aproximação para a integral da função integrando o polinômio obtido. Trabalhe com 3 casas decimais.
Para , as derivadas de são limitadas como segue:
Se é dada com quatro casas decimais para , qual o grau mínimo que deve ter um polinômio interpolador se queremos quatro casas decimais na aproximação de para ? Justifique sua resposta.
16 40 64 88 112
4.2 9.2 10 10.7 8.6
Determine o polinômio interpolador de quarta ordem via Forma de Newton. Use esse polinômio para calcular a economia de combustível a .