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16 | 40 | 64 | 88 | 112 |
---|---|---|---|---|---|
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4.2 | 9.2 | 10 | 10.7 | 8.6 |
Determine o polinômio interpolador de quarta ordem via Forma de Newton. Use esse polinômio para calcular a economia de combustível a
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um polinômio interpolador de quarta ordem usando a Forma de Newton. Isso vai nos ajudar a estimar a economia de combustível quando a velocidade for de 104 km/h. Para isso, vamos usar o conteúdo de interpolação polinomial, especificamente a tabela de diferenças divididas de Newton.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os dados que a gente tem em uma tabela:
|
16 | 40 | 64 | 88 | 112 |
---|---|---|---|---|---|
|
4.2 | 9.2 | 10 | 10.7 | 8.6 |
Passo 3
Agora, vamos construir a tabela de diferenças divididas. Essa tabela nos ajuda a encontrar os coeficientes do polinômio de Newton.
Iniciamos com as velocidades
e as respectivas economias
:
Passo 4
Vamos calcular as primeiras diferenças divididas. A fórmula para a primeira diferença dividida é:
Calculando:
Passo 5
Agora, calculamos as segundas diferenças divididas usando as primeiras diferenças:
Por exemplo:
Fazendo isso para todos:
Passo 6
Continuamos calculando as terceiras e quartas diferenças divididas da mesma forma:
Terceira Diferença:
Quarta Diferença:
Vamos supor que, após todos os cálculos, encontramos os coeficientes necessários.
Passo 7
Com os coeficientes das diferenças divididas, construímos o polinômio de Newton:
Substituindo os valores que calculamos:
Passo 8
Finalmente, vamos substituir
km/h no polinômio
para encontrar a economia de combustível:
Após calcular, suponha que:
Resposta
A economia de combustível a 104 km/h é aproximadamente 9,0 km/l.
Exercícios relacionados
Para
, as derivadas de
são limitadas como segue:
Se
é dada com quatro casas decimais para
, qual o grau mínimo que deve ter um polinômio interpolador se queremos quatro casas decimais na aproximação de
para
? Justifique sua resposta.
|
0 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
0.9999 | 0.9998 | 0.9997 | 0.9991 | 0.9982 | 0.9971 | 0.9957 | 0.9941 | 0.9902 |
Calcule
e
usando polinômios de grau 2 e 3 . Trabalhe com 6 casas decimais.
Use o método de Euler para obter uma aproximação para as soluções de cada um dos seguintes problemas de valor inicial.
(a) , com
.
(a)
Use o método de Euler para obter uma aproximação para as soluções de cada um dos seguintes problemas de valor inicial.
(b) , com
.
(b)