16 40 64 88 112
4.2 9.2 10 10.7 8.6
Determine o polinômio interpolador de quarta ordem via Forma de Newton. Use esse polinômio para calcular a economia de combustível a .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um polinômio interpolador de quarta ordem usando a Forma de Newton. Isso vai nos ajudar a estimar a economia de combustível quando a velocidade for de 104 km/h. Para isso, vamos usar o conteúdo de interpolação polinomial, especificamente a tabela de diferenças divididas de Newton.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que a gente tem em uma tabela:
(km/h) 16 40 64 88 112
(km/l) 4.2 9.2 10 10.7 8.6

Passo 3

Agora, vamos construir a tabela de diferenças divididas. Essa tabela nos ajuda a encontrar os coeficientes do polinômio de Newton.
Iniciamos com as velocidades e as respectivas economias :

Passo 4

Vamos calcular as primeiras diferenças divididas. A fórmula para a primeira diferença dividida é:
Calculando:
ç

Passo 5

Agora, calculamos as segundas diferenças divididas usando as primeiras diferenças:
Por exemplo:
Fazendo isso para todos:
çç

Passo 6

Continuamos calculando as terceiras e quartas diferenças divididas da mesma forma:
Terceira Diferença:
Quarta Diferença:
á
Vamos supor que, após todos os cálculos, encontramos os coeficientes necessários.

Passo 7

Com os coeficientes das diferenças divididas, construímos o polinômio de Newton:
Substituindo os valores que calculamos:

Passo 8

Finalmente, vamos substituir km/h no polinômio para encontrar a economia de combustível:
Após calcular, suponha que:

Resposta

A economia de combustível a 104 km/h é aproximadamente 9,0 km/l.

Exercícios relacionados

Para , as derivadas de são limitadas como segue:
Se é dada com quatro casas decimais para , qual o grau mínimo que deve ter um polinômio interpolador se queremos quatro casas decimais na aproximação de para ? Justifique sua resposta.
0 5 10 15 20 25 30 35 40
0.9999 0.9998 0.9997 0.9991 0.9982 0.9971 0.9957 0.9941 0.9902
Calcule e usando polinômios de grau 2 e 3 . Trabalhe com 6 casas decimais.
Use o método de Euler para obter uma aproximação para as soluções de cada um dos seguintes problemas de valor inicial.
(a) , com .
Use o método de Euler para obter uma aproximação para as soluções de cada um dos seguintes problemas de valor inicial.
(b) , com .