Ajuste o integrando por um polinômio de grau 3. Para obter esse polinômio, divida o intervalo de integração em 5 partes iguais sendo , e monte uma tabela com os valores do integrando nesses 5 pontos, considerando 3 casas decimais. Para resolver o sistema linear do problema, utilize o Método de Eliminação de Gauss com Pivoteamento Parcial. Calcule uma aproximação para a integral da função integrando o polinômio obtido. Trabalhe com 3 casas decimais.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver a integral . Para isso, vamos ajustar o integrando usando um polinômio de grau 3. Para fazer isso, vamos dividir o intervalo de integração em 5 partes iguais, calcular os valores do integrando nesses pontos com 3 casas decimais, montar uma tabela e resolver o sistema linear usando o Método de Eliminação de Gauss com Pivoteamento Parcial. No final, vamos calcular uma aproximação para a integral utilizando o polinômio obtido.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir o intervalo em 5 partes iguais. O tamanho de cada intervalo é . Assim, os pontos são:
Portanto, os pontos são: .
Passo 3
Agora, vamos calcular os valores do integrando nesses pontos. Vamos montar a seguinte tabela com 3 casas decimais:
Passo 4
Vamos ajustar um polinômio de grau 3:
Para encontrar os coeficientes , substituímos os valores de e na equação acima, formando um sistema linear:
Simplificando:
Passo 5
Como já sabemos que , podemos simplificar o sistema:
Vamos representar o sistema na forma de matriz aumentada:
Passo 6
Agora, vamos aplicar o Método de Eliminação de Gauss com Pivoteamento Parcial para resolver o sistema.
Passo 6.1: Escolher o maior elemento na primeira coluna para ser o pivô. Entre 0.5, 1, 1.5, 2, o maior é 2. Trocar a primeira linha com a quarta linha:
Passo 6.2: Eliminar os elementos abaixo do pivô na primeira coluna.
Para a segunda linha:
Para a terceira linha:
Para a quarta linha:
Matriz atualizada:
Passo 6.3: Agora, trabalhamos com a segunda coluna. Escolher o maior elemento absoluto na segunda coluna a partir da segunda linha. Entre -1, -0.75, -1.75, o maior é -1.75. Trocar a segunda linha com a quarta linha:
Passo 6.4: Eliminar os elementos abaixo do pivô na segunda coluna.
Para a terceira linha:
Para a quarta linha:
Matriz atualizada:
Passo 6.5: Agora, na terceira coluna, escolher o pivô. Entre -0.969 e -0.786, o maior é -0.969. Não precisamos trocar as linhas.
Eliminar o elemento abaixo do pivô na terceira coluna:
Para a quarta linha:
Mas isso resulta em uma equação , o que indica que o sistema não tem solução única. Isso pode ocorrer devido a aproximações nos cálculos.
Vamos considerar apenas as três primeiras linhas para encontrar uma solução aproximada:
Resolvendo de baixo para cima:
Encontrando :
Encontrando :
Substituindo na segunda equação:
Mas ainda precisamos de mais uma equação para resolver e . Vamos usar a primeira equação: