Considere o problema de calcular a integral
integral0^2 sen^2(x) e^-x^2 d x
Ajuste o integrando por um polinômio de grau 3. Para obter esse polinômio, divida o intervalo de integração em 5 partes iguais sendo xi=i De, e monte uma tabela com os valores do integrando nesses 5 pontos, considerando 3 casas decimais. Para resolver o sistema linear do problema, utilize o Método de Eliminação de Gauss com Pivoteamento Parcial. Calcule uma aproximação para a integral da função integrando o polinômio obtido. Trabalhe com 3 casas decimais.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a integral . Para isso, vamos ajustar o integrando usando um polinômio de grau 3. Para fazer isso, vamos dividir o intervalo de integração em 5 partes iguais, calcular os valores do integrando nesses pontos com 3 casas decimais, montar uma tabela e resolver o sistema linear usando o Método de Eliminação de Gauss com Pivoteamento Parcial. No final, vamos calcular uma aproximação para a integral utilizando o polinômio obtido.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o intervalo xi = i cdot De em 5 partes iguais. O tamanho de cada intervalo é . Assim, os pontos são:
Portanto, os pontos são: .

Passo 3

Agora, vamos calcular os valores do integrando |c|c| hline xi & sin^2(xi) e^-xi^2 hline 0.0 & sin^2(0) e^-0^2 = 0 0.5 & sin^2(0.5) e^-0.25 approx 0.229 1.0 & sin^2(1.0) e^-1 approx 0.459 1.5 & sin^2(1.5) e^-2.25 approx 0.101 2.0 & sin^2(2.0) e^-4 approx 0.052 hline nesses pontos. Vamos montar a seguinte tabela com 3 casas decimais:

Passo 4

Vamos ajustar um polinômio de grau 3:
p(x) = a0 + a1 x + a2 x^2 + a3 x^3
Para encontrar os coeficientes a0 + a1(0) + a2(0)^2 + a3(0)^3 = 0 a0 + a1(0.5) + a2(0.5)^2 + a3(0.5)^3 approx 0.229 a0 + a1(1.0) + a2(1.0)^2 + a3(1.0)^3 approx 0.459 a0 + a1(1.5) + a2(1.5)^2 + a3(1.5)^3 approx 0.101 a0 + a1(2.0) + a2(2.0)^2 + a3(2.0)^3 approx 0.052 , substituímos os valores de a0 = 0 a0 + 0.5 a1 + 0.25 a2 + 0.125 a3 = 0.229 a0 + a1 + a2 + a3 = 0.459 a0 + 1.5 a1 + 2.25 a2 + 3.375 a3 = 0.101 a0 + 2 a1 + 4 a2 + 8 a3 = 0.052 e na equação acima, formando um sistema linear:
Simplificando:

Passo 5

Como já sabemos que 0.5 a1 + 0.25 a2 + 0.125 a3 = 0.229 a1 + a2 + a3 = 0.459 1.5 a1 + 2.25 a2 + 3.375 a3 = 0.101 2 a1 + 4 a2 + 8 a3 = 0.052 , podemos simplificar o sistema:
0.5 & 0.25 & 0.125 & | & 0.229 1 & 1 & 1 & | & 0.459 1.5 & 2.25 & 3.375 & | & 0.101 2 & 4 & 8 & | & 0.052
Vamos representar o sistema na forma de matriz aumentada:

Passo 6

Agora, vamos aplicar o Método de Eliminação de Gauss com Pivoteamento Parcial para resolver o sistema.
Passo 6.1: Escolher o maior elemento na primeira coluna para ser o pivô. Entre 0.5, 1, 1.5, 2, o maior é 2. Trocar a primeira linha com a quarta linha:
2 & 4 & 8 & | & 0.052 1 & 1 & 1 & | & 0.459 1.5 & 2.25 & 3.375 & | & 0.101 0.5 & 0.25 & 0.125 & | & 0.229
Passo 6.2: Eliminar os elementos abaixo do pivô na primeira coluna.
  • Para a segunda linha: R2 = [1 - 12 cdot 2, 1 - 12 cdot 4, 1 - 12 cdot 8, 0.459 - 12 cdot 0.052] = [0, -1, -3, 0.433]
R3 = [1.5 - 1.5, 2.25 - 3, 3.375 - 6, 0.101 - 0.039] = [0, -0.75, -2.625, 0.062]
  • Para a terceira linha: R4 = [0.5 - 0.5 cdot 2, 0.25 - 0.5 cdot 4, 0.125 - 0.5 cdot 8, 0.229 - 0.5 cdot 0.052] = [0, -1.75, -3.875, 0.203]
2 & 4 & 8 & | & 0.052 0 & -1 & -3 & | & 0.433 0 & -0.75 & -2.625 & | & 0.062 0 & -1.75 & -3.875 & | & 0.203
  • Para a quarta linha: 2 & 4 & 8 & | & 0.052 0 & -1.75 & -3.875 & | & 0.203 0 & -0.75 & -2.625 & | & 0.062 0 & -1 & -3 & | & 0.433
R3 = [0, -0.75 - (0.751.75 cdot -1.75), -2.625 - (0.751.75 cdot -3.875), 0.062 - (0.751.75 cdot 0.203)]
Matriz atualizada:
R3 = [0, 0, -2.625 + 1.656, 0.062 - 0.087] approx [0, 0, -0.969, -0.025]
Passo 6.3: Agora, trabalhamos com a segunda coluna. Escolher o maior elemento absoluto na segunda coluna a partir da segunda linha. Entre -1, -0.75, -1.75, o maior é -1.75. Trocar a segunda linha com a quarta linha:
R4 = [0, -1 - (11.75 cdot -1.75), -3 - (11.75 cdot -3.875), 0.433 - (11.75 cdot 0.203)]
Passo 6.4: Eliminar os elementos abaixo do pivô na segunda coluna.
  • Para a terceira linha: R4 = [0, 0, -3 + 2.214, 0.433 - 0.116] approx [0, 0, -0.786, 0.317]
2 & 4 & 8 & | & 0.052 0 & -1.75 & -3.875 & | & 0.203 0 & 0 & -0.969 & | & -0.025 0 & 0 & -0.786 & | & 0.317
R4 = [0, 0, -0.786 - (0.7860.969 cdot -0.969), 0.317 - (0.7860.969 cdot -0.025)]
  • Para a quarta linha: R4 = [0, 0, 0, 0.317 + 0.020] approx [0, 0, 0, 0.337]
2 a1 + 4 a2 + 8 a3 = 0.052 -1.75 a1 - 3.875 a2 = 0.203 -0.969 a3 = -0.025
-0.969 a3 = -0.025 Rightarrow a3 = -0.025-0.969 approx 0.026
Matriz atualizada:
-1.75 a1 - 3.875 a2 = 0.203
Passo 6.5: Agora, na terceira coluna, escolher o pivô. Entre -0.969 e -0.786, o maior é -0.969. Não precisamos trocar as linhas.
Eliminar o elemento abaixo do pivô na terceira coluna:
  • Para a quarta linha: 2 a1 + 4 a2 + 8 a3 = 0.052 Rightarrow 2 a1 + 4 a2 + 8(0.026) = 0.052
2 a1 + 4 a2 + 0.208 = 0.052 Rightarrow 2 a1 + 4 a2 = -0.156
a1 + 2 a2 = -0.078 (Dividindo por 2)
Mas isso resulta em uma equação a1 + 2 a2 = -0.078 -1.75 a1 - 3.875 a2 = 0.203 , o que indica que o sistema não tem solução única. Isso pode ocorrer devido a aproximações nos cálculos.
Vamos considerar apenas as três primeiras linhas para encontrar uma solução aproximada:
1.75 a1 + 3.5 a2 = -0.1365
Resolvendo de baixo para cima:
Encontrando (1.75 a1 - 1.75 a1) + (3.5 a2 - 3.875 a2) = -0.1365 + 0.203 :
-0.375 a2 = 0.0665 Rightarrow a2 = 0.0665-0.375 approx -0.178
Encontrando a1 + 2(-0.178) = -0.078 Rightarrow a1 - 0.356 = -0.078 Rightarrow a1 = 0.278 :
Substituindo na segunda equação:
Mas ainda precisamos de mais uma equação para resolver e . Vamos usar a primeira equação:
Temos agora:
Multiplicando a primeira equação por 1.75:
Somando com a segunda equação:
Encontrando :
Substituindo na primeira equação:

Passo 7

Agora, temos os coeficientes aproximados:
a0 = 0, a1 approx 0.278, a2 approx -0.178, a3 approx 0.026
Então, o polinômio ajustado é:
p(x) = 0 + 0.278 x - 0.178 x^2 + 0.026 x^3

Passo 8

Vamos calcular a integral do polinômio integral0^2 p(x) dx = integral0^2 (0.278 x - 0.178 x^2 + 0.026 x^3) dx de 0 a 2:
integral 0.278 x dx = 0.278 cdot x^22 |0^2 = 0.278 cdot 2 = 0.556
Calculando cada termo:
integral -0.178 x^2 dx = -0.178 cdot x^33 |0^2 = -0.178 cdot 83 approx -0.178 cdot 2.667 approx -0.475
integral 0.026 x^3 dx = 0.026 cdot x^44 |0^2 = 0.026 cdot 164 = 0.026 cdot 4 = 0.104
0.556 - 0.475 + 0.104 = 0.185
Somando os resultados:

Resposta

Aproximação para a integral é .

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