Considere o problema de calcular a integral
Ajuste o integrando por um polinômio de grau 3. Para obter esse polinômio, divida o intervalo de integração em 5 partes iguais sendo , e monte uma tabela com os valores do integrando nesses 5 pontos, considerando 3 casas decimais. Para resolver o sistema linear do problema, utilize o Método de Eliminação de Gauss com Pivoteamento Parcial. Calcule uma aproximação para a integral da função integrando o polinômio obtido. Trabalhe com 3 casas decimais.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a integral . Para isso, vamos ajustar o integrando usando um polinômio de grau 3. Para fazer isso, vamos dividir o intervalo de integração em 5 partes iguais, calcular os valores do integrando nesses pontos com 3 casas decimais, montar uma tabela e resolver o sistema linear usando o Método de Eliminação de Gauss com Pivoteamento Parcial. No final, vamos calcular uma aproximação para a integral utilizando o polinômio obtido.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o intervalo em 5 partes iguais. O tamanho de cada intervalo é . Assim, os pontos são:
Portanto, os pontos são: .

Passo 3

Agora, vamos calcular os valores do integrando nesses pontos. Vamos montar a seguinte tabela com 3 casas decimais:

Passo 4

Vamos ajustar um polinômio de grau 3:
Para encontrar os coeficientes , substituímos os valores de e na equação acima, formando um sistema linear:
Simplificando:

Passo 5

Como já sabemos que , podemos simplificar o sistema:
Vamos representar o sistema na forma de matriz aumentada:

Passo 6

Agora, vamos aplicar o Método de Eliminação de Gauss com Pivoteamento Parcial para resolver o sistema.
Passo 6.1: Escolher o maior elemento na primeira coluna para ser o pivô. Entre 0.5, 1, 1.5, 2, o maior é 2. Trocar a primeira linha com a quarta linha:
Passo 6.2: Eliminar os elementos abaixo do pivô na primeira coluna.
  • Para a segunda linha:
  • Para a terceira linha:
  • Para a quarta linha:
Matriz atualizada:
Passo 6.3: Agora, trabalhamos com a segunda coluna. Escolher o maior elemento absoluto na segunda coluna a partir da segunda linha. Entre -1, -0.75, -1.75, o maior é -1.75. Trocar a segunda linha com a quarta linha:
Passo 6.4: Eliminar os elementos abaixo do pivô na segunda coluna.
  • Para a terceira linha:
  • Para a quarta linha:
Matriz atualizada:
Passo 6.5: Agora, na terceira coluna, escolher o pivô. Entre -0.969 e -0.786, o maior é -0.969. Não precisamos trocar as linhas.
Eliminar o elemento abaixo do pivô na terceira coluna:
  • Para a quarta linha:
Mas isso resulta em uma equação , o que indica que o sistema não tem solução única. Isso pode ocorrer devido a aproximações nos cálculos.
Vamos considerar apenas as três primeiras linhas para encontrar uma solução aproximada:
Resolvendo de baixo para cima:
Encontrando :
Encontrando :
Substituindo na segunda equação:
Mas ainda precisamos de mais uma equação para resolver e . Vamos usar a primeira equação:
Temos agora:
Multiplicando a primeira equação por 1.75:
Somando com a segunda equação:
Encontrando :
Substituindo na primeira equação:

Passo 7

Agora, temos os coeficientes aproximados:
Então, o polinômio ajustado é:

Passo 8

Vamos calcular a integral do polinômio de 0 a 2:
Calculando cada termo:
Somando os resultados:

Resposta

Aproximação para a integral é .

Exercícios relacionados

Considere a tabela:
-2 -1 0 1 2
-4 -1 1 0 2
Ajuste os dados dessa tabela por um polinômio de grau 2 e por um polinômio de grau 3. Calcule os resíduos para cada ajuste. Trabalhe com 3 casas.
Considere a tabela:
3.8 7.0 9.5 11.3 17.5 31.5 45.5 64.0 95.0
10.0 12.5 13.5 14.0 15.0 16.0 16.5 17.0 17.5
Por qual das funções
você ajustaria os dados dessa tabela ? Justifique sua resposta e faça o ajuste usando a função escolhida. Trabalhe com 3 casas.
-1 1
e responda:
(a) Qual é o grau máximo do polinômio que interpola a função dada na tabela? Justifique sua resposta.
(b) Obtenha o polinômio que interpola a função dada na tabela lembrando que o valores que o polinômio e sua derivada tem que assumir nos pontos tabelados tem que coincidir.
0 5 10 15 20 25 30 35 40
0.9999 0.9998 0.9997 0.9991 0.9982 0.9971 0.9957 0.9941 0.9902
Calcule e usando polinômios de grau 2 e 3 . Trabalhe com 6 casas decimais.