Para
, as derivadas de
são limitadas como segue:
Se
é dada com quatro casas decimais para
, qual o grau mínimo que deve ter um polinômio interpolador se queremos quatro casas decimais na aproximação de
para
? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá uma função
, que é basicamente a função de distribuição acumulada da normal padrão. Estamos trabalhando com polinômios interpoladores e queremos descobrir qual o menor grau que esse polinômio precisa ter para aproximar
com quatro casas decimais no intervalo
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre interpolação polinomial e como as derivadas da função influenciam na precisão da aproximação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um polinômio interpolador. Basicamente, é um polinômio que passa exatamente por um conjunto de pontos dados. No nosso caso, temos os pontos
com os valores correspondentes de
até quatro casas decimais.
Passo 3
Para garantir que a aproximação do polinômio seja precisa até quatro casas decimais, precisamos entender como o erro entre a função verdadeira
e o polinômio interpolador
se comporta. Esse erro é geralmente dado pelo termo de erro de interpolação de Taylor, que envolve a derivada seguinte da função e o produto
.
Passo 4
A expressão do erro
é:
Onde
está entre os pontos de interpolação. Para garantir que
(que corresponde a quatro casas decimais de precisão), precisamos relacionar esse erro com as derivadas dadas no enunciado.
Passo 5
Dado que as derivadas de
estão limitadas em
como:
Isso nos indica que a quarta derivada é a que tem o maior impacto no erro. Portanto, vamos focar em usar
para estimar o erro.
Passo 6
Substituindo na expressão do erro:
Queremos que esse valor seja menor que
. Vamos calcular isso para diferentes valores de
para encontrar o menor grau que satisfaz essa condição.
Passo 7
Para simplificar, observamos que o máximo de
no intervalo
ocorre no meio,
. Assim, podemos calcular:
E ajustar
de forma que:
Passo 8
Testando diferentes valores de
:
-
Para
: Isso é maior que. -
Para
: Ainda maior que. -
Para
: Isso é menor que.
Resposta
O grau mínimo que o polinômio interpolador deve ter é 5 para garantir uma aproximação de quatro casas decimais de
no intervalo
.
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0 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 |
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0.9999 | 0.9998 | 0.9997 | 0.9991 | 0.9982 | 0.9971 | 0.9957 | 0.9941 | 0.9902 |
Calcule
e
usando polinômios de grau 2 e 3 . Trabalhe com 6 casas decimais.
|
-1 | 1 |
---|---|---|
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e responda:
(a) Qual é o grau máximo do polinômio que interpola a função dada na tabela? Justifique sua resposta.
(b) Obtenha o polinômio que interpola a função dada na tabela lembrando que o valores que o polinômio e sua derivada tem que assumir nos pontos tabelados tem que coincidir.
(a) Qual é o grau máximo do polinômio que interpola a função
(b) Obtenha o polinômio que interpola a função
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16 | 40 | 64 | 88 | 112 |
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4.2 | 9.2 | 10 | 10.7 | 8.6 |
Determine o polinômio interpolador de quarta ordem via Forma de Newton. Use esse polinômio para calcular a economia de combustível a
.
Use o método de Euler para obter uma aproximação para as soluções de cada um dos seguintes problemas de valor inicial.
(a) , com
.
(a)