Para , as derivadas de são limitadas como segue:
Se é dada com quatro casas decimais para , qual o grau mínimo que deve ter um polinômio interpolador se queremos quatro casas decimais na aproximação de para ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá uma função , que é basicamente a função de distribuição acumulada da normal padrão. Estamos trabalhando com polinômios interpoladores e queremos descobrir qual o menor grau que esse polinômio precisa ter para aproximar com quatro casas decimais no intervalo . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre interpolação polinomial e como as derivadas da função influenciam na precisão da aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um polinômio interpolador. Basicamente, é um polinômio que passa exatamente por um conjunto de pontos dados. No nosso caso, temos os pontos com os valores correspondentes de até quatro casas decimais.

Passo 3

Para garantir que a aproximação do polinômio seja precisa até quatro casas decimais, precisamos entender como o erro entre a função verdadeira e o polinômio interpolador se comporta. Esse erro é geralmente dado pelo termo de erro de interpolação de Taylor, que envolve a derivada seguinte da função e o produto .

Passo 4

A expressão do erro é:
Onde está entre os pontos de interpolação. Para garantir que (que corresponde a quatro casas decimais de precisão), precisamos relacionar esse erro com as derivadas dadas no enunciado.

Passo 5

Dado que as derivadas de estão limitadas em como:
Isso nos indica que a quarta derivada é a que tem o maior impacto no erro. Portanto, vamos focar em usar para estimar o erro.

Passo 6

Substituindo na expressão do erro:
Queremos que esse valor seja menor que . Vamos calcular isso para diferentes valores de para encontrar o menor grau que satisfaz essa condição.

Passo 7

Para simplificar, observamos que o máximo de no intervalo ocorre no meio, . Assim, podemos calcular:
E ajustar de forma que:
áó

Passo 8

Testando diferentes valores de :
  • Para :
    Isso é maior que .
  • Para :
    Ainda maior que .
  • Para :
    Isso é menor que .

Resposta

O grau mínimo que o polinômio interpolador deve ter é 5 para garantir uma aproximação de quatro casas decimais de no intervalo .

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0 5 10 15 20 25 30 35 40
0.9999 0.9998 0.9997 0.9991 0.9982 0.9971 0.9957 0.9941 0.9902
Calcule e usando polinômios de grau 2 e 3 . Trabalhe com 6 casas decimais.
-1 1
e responda:
(a) Qual é o grau máximo do polinômio que interpola a função dada na tabela? Justifique sua resposta.
(b) Obtenha o polinômio que interpola a função dada na tabela lembrando que o valores que o polinômio e sua derivada tem que assumir nos pontos tabelados tem que coincidir.
16 40 64 88 112
4.2 9.2 10 10.7 8.6
Determine o polinômio interpolador de quarta ordem via Forma de Newton. Use esse polinômio para calcular a economia de combustível a .
Use o método de Euler para obter uma aproximação para as soluções de cada um dos seguintes problemas de valor inicial.
(a) , com .