f(x)=integral-infty^x 1raiz2 pi e^-x^22 d x
Para x in(0,1), as derivadas de f(x) são limitadas como segue:
0
Se f(x) é dada com quatro casas decimais para x=0,0.1,0.2, ldots, 0.9,1, qual o grau mínimo que deve ter um polinômio interpolador se queremos quatro casas decimais na aproximação de f(x) para x in(0,1) ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá uma função , que é basicamente a função de distribuição acumulada da normal padrão. Estamos trabalhando com polinômios interpoladores e queremos descobrir qual o menor grau que esse polinômio precisa ter para aproximar com quatro casas decimais no intervalo . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre interpolação polinomial e como as derivadas da função influenciam na precisão da aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um polinômio interpolador. Basicamente, é um polinômio que passa exatamente por um conjunto de pontos dados. No nosso caso, temos os pontos com os valores correspondentes de até quatro casas decimais.

Passo 3

Para garantir que a aproximação do polinômio seja precisa até quatro casas decimais, precisamos entender como o erro entre a função verdadeira e o polinômio interpolador se comporta. Esse erro é geralmente dado pelo termo de erro de interpolação de Taylor, que envolve a derivada seguinte da função e o produto .

Passo 4

A expressão do erro En(x) = f^(n+1)(xi)(n+1)! prodi=0^n (x - xi) é:
Onde está entre os pontos de interpolação. Para garantir que (que corresponde a quatro casas decimais de precisão), precisamos relacionar esse erro com as derivadas dadas no enunciado.

Passo 5

Dado que as derivadas de 0 < f''(x) < 0.4 0 < f'''(x) < 0.5 0.4 < f''''(x) < 1.2 estão limitadas em como:
Isso nos indica que a quarta derivada é a que tem o maior impacto no erro. Portanto, vamos focar em usar para estimar o erro.

Passo 6

Substituindo na expressão do erro:
|En(x)| <= 1.2(n+1)! prodi=0^n |x - xi|
Queremos que esse valor seja menor que . Vamos calcular isso para diferentes valores de para encontrar o menor grau que satisfaz essa condição.

Passo 7

Para simplificar, observamos que o máximo de prodi=0^n |0.5 - i cdot 0.1| no intervalo 1.2(n+1)! times valor máximo da produtória < 0.00005 ocorre no meio, . Assim, podemos calcular:
E ajustar de forma que:
áó

Passo 8

Testando diferentes valores de 1.24! times 0.5^4 = 1.224 times 0.0625 approx 0.003125 :
  • Para 1.25! times 0.5^5 = 1.2120 times 0.03125 approx 0.0003125 :
    1.26! times 0.5^6 = 1.2720 times 0.015625 approx 0.000026
    Isso é maior que .
  • Para :
    Ainda maior que .
  • Para :
    Isso é menor que .

Resposta

O grau mínimo que o polinômio interpolador deve ter é 5 para garantir uma aproximação de quatro casas decimais de no intervalo .

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