x -1 1
f(x) -e^-1 e^-1
f^prime(x) -e^-1 -e^-1
e responda:
(a) Qual é o grau máximo do polinômio que interpola a função f(x) dada na tabela? Justifique sua resposta.
(b) Obtenha o polinômio que interpola a função f(x) dada na tabela lembrando que o valores que o polinômio e sua derivada tem que assumir nos pontos tabelados tem que coincidir.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma tabela com valores de , e . A parte (a) quer saber qual é o grau máximo do polinômio que interpola essa função com base nesses dados. Pra resolver isso, vamos precisar entender sobre interpolação polinomial, que é quando a gente encontra um polinômio que passa por certos pontos dados.

Passo 2

Primeiro, vamos contar quantas informações temos. Na tabela, existem 2 pontos ( e ), e para cada ponto, temos o valor da função e o valor da sua derivada . Isso dá um total de 4 condições que o polinômio precisa satisfazer.

Passo 3

Na interpolação polinomial, cada condição adicional geralmente aumenta o grau do polinômio necessário. Por exemplo, para condições, o grau mínimo do polinômio é . Mas, quando estamos lidando com interpolação de Hermite, onde consideramos tanto os valores da função quanto suas derivadas, cada ponto fornece mais de uma condição.

Passo 4

Como temos 2 pontos e para cada um consideramos e , são 4 condições no total. Portanto, o grau mínimo do polinômio que consegue atender a todas essas condições é .

Passo 5

Agora que sabemos que precisamos de um polinômio de grau 3, vamos para a parte (b), que pede para encontrar esse polinômio que passe pelos pontos dados e que suas derivadas também coincidam nesses pontos. Isso é conhecido como Interpolação de Hermite.

Passo 6

Para construir o polinômio de Hermite, vamos utilizar a forma interpoladora de Hermite, que combina os polinômios de interpolação de Lagrange e leva em conta as derivadas. A ideia é garantir que tanto o valor da função quanto sua derivada sejam iguais nos pontos especificados.

Passo 7

Vamos denotar o polinômio como P(x) = h00(t)f(x0) + h10(t)(x - x0)f'(x0) + h01(t)f(x1) + h11(t)(x - x1)f'(x1) e escrever a seguinte forma geral para interpolação de Hermite com dois pontos:
onde e os são funções de base de Hermite.

Passo 8

Para simplificar, vamos utilizar o método dos coeficientes desconhecidos. Assumimos que:
P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes , , e que satisfaçam as 4 condições dadas.

Passo 9

Vamos aplicar as condições:

Passo 10

Calculando a(-1)^3 + b(-1)^2 + c(-1) + d = -a + b - c + d = -e^-1 :
a(1)^3 + b(1)^2 + c(1) + d = a + b + c + d = e^-1
Calculando P'(x) = 3ax^2 + 2bx + c :
3a(-1)^2 + 2b(-1) + c = 3a - 2b + c = -e^-1
Calculando 3a(1)^2 + 2b(1) + c = 3a + 2b + c = -e^-1 . A derivada de é:
Então,
Calculando :

Passo 11

Agora, temos um sistema de 4 equações:
Vamos resolver esse sistema passo a passo.

Passo 12

Primeiro, vamos resolver as equações 3 e 4 para encontrar (3a + 2b + c) - (3a - 2b + c) = 0 .
Subtraindo a equação 3 da equação 4:
4b = 0 implies b = 0

Passo 13

Com 3a + c = -e^-1 , substituímos nas equações 3 e 4:
Equação 3:
3a + c = -e^-1
Equação 4:
Essas duas são iguais, o que não nos dá nova informação. Vamos usar as equações 1 e 2.

Passo 14

Com (-a - c + d) + (a + c + d) = -e^-1 + e^-1 implies 2d = 0 implies d = 0 , as equações 1 e 2 ficam:
Somando as duas:

Passo 15

Agora, com (-a - c) + (a + c) = -e^-1 + e^-1 implies 0 = 0 , as equações 1 e 2 se tornam:
Somando as duas:
Isso confirma nossa solução, mas precisamos encontrar valores específicos para e .

Passo 16

Utilizando a equação (3a + c) - (a + c) = -e^-1 - e^-1 implies 2a = -2e^-1 implies a = -e^-1 (da Passo 8), e a equação , podemos resolver:
Subtraindo a segunda da primeira:

Passo 17

Com -e^-1 + c = e^-1 implies c = 2e^-1 , substituímos na equação :

Resposta

O polinômio que interpola a função P(x) = -e^-1x^3 + 0x^2 + 2e^-1x + 0 = -e^-1x^3 + 2e^-1x dada na tabela é:

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