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-1 | 1 |
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e responda:
(a) Qual é o grau máximo do polinômio que interpola a função dada na tabela? Justifique sua resposta.
(b) Obtenha o polinômio que interpola a função dada na tabela lembrando que o valores que o polinômio e sua derivada tem que assumir nos pontos tabelados tem que coincidir.
(a) Qual é o grau máximo do polinômio que interpola a função
(b) Obtenha o polinômio que interpola a função
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma tabela com valores de
,
e
. A parte (a) quer saber qual é o grau máximo do polinômio que interpola essa função com base nesses dados. Pra resolver isso, vamos precisar entender sobre interpolação polinomial, que é quando a gente encontra um polinômio que passa por certos pontos dados.
Passo 2
Primeiro, vamos contar quantas informações temos. Na tabela, existem 2 pontos (
e
), e para cada ponto, temos o valor da função
e o valor da sua derivada
. Isso dá um total de 4 condições que o polinômio precisa satisfazer.
Passo 3
Na interpolação polinomial, cada condição adicional geralmente aumenta o grau do polinômio necessário. Por exemplo, para
condições, o grau mínimo do polinômio é
. Mas, quando estamos lidando com interpolação de Hermite, onde consideramos tanto os valores da função quanto suas derivadas, cada ponto fornece mais de uma condição.
Passo 4
Como temos 2 pontos e para cada um consideramos
e
, são 4 condições no total. Portanto, o grau mínimo do polinômio que consegue atender a todas essas condições é
.
Passo 5
Agora que sabemos que precisamos de um polinômio de grau 3, vamos para a parte (b), que pede para encontrar esse polinômio que passe pelos pontos dados e que suas derivadas também coincidam nesses pontos. Isso é conhecido como Interpolação de Hermite.
Passo 6
Para construir o polinômio de Hermite, vamos utilizar a forma interpoladora de Hermite, que combina os polinômios de interpolação de Lagrange e leva em conta as derivadas. A ideia é garantir que tanto o valor da função quanto sua derivada sejam iguais nos pontos especificados.
Passo 7
Vamos denotar o polinômio como
e escrever a seguinte forma geral para interpolação de Hermite com dois pontos:
onde
e os
são funções de base de Hermite.
Passo 8
Para simplificar, vamos utilizar o método dos coeficientes desconhecidos. Assumimos que:
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes
,
,
e
que satisfaçam as 4 condições dadas.
Passo 9
Vamos aplicar as condições:
Passo 10
Calculando
:
Calculando
:
Calculando
. A derivada de
é:
Então,
Calculando
:
Passo 11
Agora, temos um sistema de 4 equações:
Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Passo 12
Primeiro, vamos resolver as equações 3 e 4 para encontrar
.
Subtraindo a equação 3 da equação 4:
Passo 13
Com
, substituímos nas equações 3 e 4:
Equação 3:
Equação 4:
Essas duas são iguais, o que não nos dá nova informação. Vamos usar as equações 1 e 2.
Passo 14
Com
, as equações 1 e 2 ficam:
Somando as duas:
Passo 15
Agora, com
, as equações 1 e 2 se tornam:
Somando as duas:
Isso confirma nossa solução, mas precisamos encontrar valores específicos para
e
.
Passo 16
Utilizando a equação
(da Passo 8), e a equação
, podemos resolver:
Subtraindo a segunda da primeira:
Passo 17
Com
, substituímos na equação
:
Resposta
O polinômio que interpola a função
dada na tabela é:
Exercícios relacionados
Considere o problema de calcular a integral
Ajuste o integrando por um polinômio de grau 3. Para obter esse polinômio, divida o intervalo de integração em 5 partes iguais sendo
, e monte uma tabela com os valores do integrando nesses 5 pontos, considerando 3 casas decimais. Para resolver o sistema linear do problema, utilize o Método de Eliminação de Gauss com Pivoteamento Parcial. Calcule uma aproximação para a integral da função integrando o polinômio obtido. Trabalhe com 3 casas decimais.
Considere a tabela:
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-2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
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-4 | -1 | 1 | 0 | 2 |
Ajuste os dados dessa tabela por um polinômio de grau 2 e por um polinômio de grau 3. Calcule os resíduos para cada ajuste. Trabalhe com 3 casas.
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0 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 |
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0.9999 | 0.9998 | 0.9997 | 0.9991 | 0.9982 | 0.9971 | 0.9957 | 0.9941 | 0.9902 |
Calcule
e
usando polinômios de grau 2 e 3 . Trabalhe com 6 casas decimais.
Para
, as derivadas de
são limitadas como segue:
Se
é dada com quatro casas decimais para
, qual o grau mínimo que deve ter um polinômio interpolador se queremos quatro casas decimais na aproximação de
para
? Justifique sua resposta.