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e responda:
(a) Qual é o grau máximo do polinômio que interpola a função dada na tabela? Justifique sua resposta.
(b) Obtenha o polinômio que interpola a função dada na tabela lembrando que o valores que o polinômio e sua derivada tem que assumir nos pontos tabelados tem que coincidir.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma tabela com valores de , e . A parte (a) quer saber qual é o grau máximo do polinômio que interpola essa função com base nesses dados. Pra resolver isso, vamos precisar entender sobre interpolação polinomial, que é quando a gente encontra um polinômio que passa por certos pontos dados.

Passo 2

Primeiro, vamos contar quantas informações temos. Na tabela, existem 2 pontos ( e ), e para cada ponto, temos o valor da função e o valor da sua derivada . Isso dá um total de 4 condições que o polinômio precisa satisfazer.

Passo 3

Na interpolação polinomial, cada condição adicional geralmente aumenta o grau do polinômio necessário. Por exemplo, para condições, o grau mínimo do polinômio é . Mas, quando estamos lidando com interpolação de Hermite, onde consideramos tanto os valores da função quanto suas derivadas, cada ponto fornece mais de uma condição.

Passo 4

Como temos 2 pontos e para cada um consideramos e , são 4 condições no total. Portanto, o grau mínimo do polinômio que consegue atender a todas essas condições é .

Passo 5

Agora que sabemos que precisamos de um polinômio de grau 3, vamos para a parte (b), que pede para encontrar esse polinômio que passe pelos pontos dados e que suas derivadas também coincidam nesses pontos. Isso é conhecido como Interpolação de Hermite.

Passo 6

Para construir o polinômio de Hermite, vamos utilizar a forma interpoladora de Hermite, que combina os polinômios de interpolação de Lagrange e leva em conta as derivadas. A ideia é garantir que tanto o valor da função quanto sua derivada sejam iguais nos pontos especificados.

Passo 7

Vamos denotar o polinômio como e escrever a seguinte forma geral para interpolação de Hermite com dois pontos:
onde e os são funções de base de Hermite.

Passo 8

Para simplificar, vamos utilizar o método dos coeficientes desconhecidos. Assumimos que:
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes , , e que satisfaçam as 4 condições dadas.

Passo 9

Vamos aplicar as condições:

Passo 10

Calculando :
Calculando :
Calculando . A derivada de é:
Então,
Calculando :

Passo 11

Agora, temos um sistema de 4 equações:
Vamos resolver esse sistema passo a passo.

Passo 12

Primeiro, vamos resolver as equações 3 e 4 para encontrar .
Subtraindo a equação 3 da equação 4:

Passo 13

Com , substituímos nas equações 3 e 4:
Equação 3:
Equação 4:
Essas duas são iguais, o que não nos dá nova informação. Vamos usar as equações 1 e 2.

Passo 14

Com , as equações 1 e 2 ficam:
Somando as duas:

Passo 15

Agora, com , as equações 1 e 2 se tornam:
Somando as duas:
Isso confirma nossa solução, mas precisamos encontrar valores específicos para e .

Passo 16

Utilizando a equação (da Passo 8), e a equação , podemos resolver:
Subtraindo a segunda da primeira:

Passo 17

Com , substituímos na equação :

Resposta

O polinômio que interpola a função dada na tabela é:

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Considere o problema de calcular a integral
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Considere a tabela:
-2 -1 0 1 2
-4 -1 1 0 2
Ajuste os dados dessa tabela por um polinômio de grau 2 e por um polinômio de grau 3. Calcule os resíduos para cada ajuste. Trabalhe com 3 casas.
0 5 10 15 20 25 30 35 40
0.9999 0.9998 0.9997 0.9991 0.9982 0.9971 0.9957 0.9941 0.9902
Calcule e usando polinômios de grau 2 e 3 . Trabalhe com 6 casas decimais.
Para , as derivadas de são limitadas como segue:
Se é dada com quatro casas decimais para , qual o grau mínimo que deve ter um polinômio interpolador se queremos quatro casas decimais na aproximação de para ? Justifique sua resposta.