Em seguida, multiplique as matrizes resultantes [L] e [U] para determinar que a matriz [A] é obtida. b) Use a fatoração LU para resolver o sistema.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um sistema de três equações com três incógnitas e precisa resolver usando fatoração LU. A primeira parte é multiplicar as matrizes resultantes [L] e [U] para confirmar que elas formam a matriz original [A]. A segunda parte é usar essa fatoração para resolver o sistema. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre matrizes, fatoração LU e como resolver sistemas lineares. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz dos coeficientes do sistema, que é a matriz [A]. A partir do sistema dado:
A matriz [A] fica assim:

Passo 3

Agora, vamos fazer a fatoração LU. Isso significa que queremos escrever a matriz [A] como o produto de duas matrizes: [L], que é uma matriz triangular inferior, e [U], que é uma matriz triangular superior.
A fatoração LU nos ajuda a resolver sistemas lineares de forma mais eficiente, especialmente quando precisamos resolver o mesmo sistema com diferentes termos independentes.

Passo 4

Vamos encontrar as matrizes [L] e [U]. Para isso, usamos o método de eliminação de Gauss para transformar [A] em uma matriz triangular superior [U], ao mesmo tempo que registramos as operações de eliminação na matriz [L].
Após a fatoração, suponha que teremos:
Vamos calcular os elementos de [L] e [U]:
  1. Primeira linha de U:
  2. Elementos de L e a segunda linha de U:
    • Atualizamos a segunda linha:
      • Nova segunda linha = Segunda linha + 0.3 * Primeira linha
    • Então, e
  3. Elementos de L e a terceira linha de U:
    • Atualizamos a terceira linha:
      • Nova terceira linha = Terceira linha - 0.1 * Primeira linha
    • Agora, precisamos usar a segunda linha para eliminar o :
      • Atualizamos a terceira linha novamente:
        • Nova terceira linha = Terceira linha - (-0.1481) * Segunda linha
    • Então,
Portanto, nossas matrizes [L] e [U] são:

Passo 5

Agora, vamos multiplicar as matrizes [L] e [U] para verificar se realmente obtemos a matriz [A].
Fazendo a multiplicação:

$$
L \times U =
\times

$$
Viu só? O produto [L][U] resulta na matriz [A] original! Isso confirma que nossa fatoração está correta.

Passo 6

Agora que temos [L] e [U], vamos resolver o sistema usando a fatoração LU. O sistema original pode ser reescrito como .
Primeiro, vamos resolver para encontrar o vetor . Depois, resolvemos para encontrar o vetor .
Passo 6.1: Resolver
O vetor é:
Escrevendo as equações:
Resolvendo:
Então,
Passo 6.2: Resolver
Agora, temos:
Escrevendo as equações:
Resolvendo de baixo para cima:

Resposta

A solução do sistema é:

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