Em seguida, multiplique as matrizes resultantes [L] e [U] para determinar que a matriz [A] é obtida. b) Use a fatoração LU para resolver o sistema.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um sistema de três equações com três incógnitas e precisa resolver usando fatoração LU. A primeira parte é multiplicar as matrizes resultantes [L] e [U] para confirmar que elas formam a matriz original [A]. A segunda parte é usar essa fatoração para resolver o sistema. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre matrizes, fatoração LU e como resolver sistemas lineares. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a matriz dos coeficientes do sistema, que é a matriz [A]. A partir do sistema dado:
A matriz [A] fica assim:
Passo 3
Agora, vamos fazer a fatoração LU. Isso significa que queremos escrever a matriz [A] como o produto de duas matrizes: [L], que é uma matriz triangular inferior, e [U], que é uma matriz triangular superior.
A fatoração LU nos ajuda a resolver sistemas lineares de forma mais eficiente, especialmente quando precisamos resolver o mesmo sistema com diferentes termos independentes.
Passo 4
Vamos encontrar as matrizes [L] e [U]. Para isso, usamos o método de eliminação de Gauss para transformar [A] em uma matriz triangular superior [U], ao mesmo tempo que registramos as operações de eliminação na matriz [L].
Após a fatoração, suponha que teremos:
Vamos calcular os elementos de [L] e [U]:
Primeira linha de U:
Elementos de L e a segunda linha de U:
Atualizamos a segunda linha:
Nova segunda linha = Segunda linha + 0.3 * Primeira linha
Então, e
Elementos de L e a terceira linha de U:
Atualizamos a terceira linha:
Nova terceira linha = Terceira linha - 0.1 * Primeira linha
Agora, precisamos usar a segunda linha para eliminar o :
Atualizamos a terceira linha novamente:
Nova terceira linha = Terceira linha - (-0.1481) * Segunda linha
Então,
Portanto, nossas matrizes [L] e [U] são:
Passo 5
Agora, vamos multiplicar as matrizes [L] e [U] para verificar se realmente obtemos a matriz [A].
Fazendo a multiplicação:
$$
L \times U =
\times
$$
Viu só? O produto [L][U] resulta na matriz [A] original! Isso confirma que nossa fatoração está correta.
Passo 6
Agora que temos [L] e [U], vamos resolver o sistema usando a fatoração LU. O sistema original pode ser reescrito como .
Primeiro, vamos resolver para encontrar o vetor . Depois, resolvemos para encontrar o vetor .