10 x1+2 x2-x3 & =27 -3 x1-6 x2+2 x3 & =-61.5 x1+x2+5 x3 & =-21.5
Em seguida, multiplique as matrizes resultantes [L] e [U] para determinar que a matriz [A] é obtida. b) Use a fatoração LU para resolver o sistema.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um sistema de três equações com três incógnitas e precisa resolver usando fatoração LU. A primeira parte é multiplicar as matrizes resultantes [L] e [U] para confirmar que elas formam a matriz original [A]. A segunda parte é usar essa fatoração para resolver o sistema. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre matrizes, fatoração LU e como resolver sistemas lineares. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz dos coeficientes do sistema, que é a matriz [A]. A partir do sistema dado:
10 x1+2 x2-x3 & =27 -3 x1-6 x2+2 x3 & =-61.5 x1+x2+5 x3 & =-21.5
A matriz [A] fica assim:
A = 10 & 2 & -1 -3 & -6 & 2 1 & 1 & 5

Passo 3

Agora, vamos fazer a fatoração LU. Isso significa que queremos escrever a matriz [A] como o produto de duas matrizes: [L], que é uma matriz triangular inferior, e [U], que é uma matriz triangular superior.
A fatoração LU nos ajuda a resolver sistemas lineares de forma mais eficiente, especialmente quando precisamos resolver o mesmo sistema com diferentes termos independentes.

Passo 4

Vamos encontrar as matrizes [L] e [U]. Para isso, usamos o método de eliminação de Gauss para transformar [A] em uma matriz triangular superior [U], ao mesmo tempo que registramos as operações de eliminação na matriz [L].
Após a fatoração, suponha que teremos:
L = 1 & 0 & 0 l21 & 1 & 0 l31 & l32 & 1 , U = u11 & u12 & u13 0 & u22 & u23 0 & 0 & u33
Vamos calcular os elementos de [L] e [U]:
  1. Primeira linha de U:
    • L = 1 & 0 & 0 -0.3 & 1 & 0 0.1 & -0.1481 & 1 , U = 10 & 2 & -1 0 & -5.4 & 1.7 0 & 0 & 5.35
  2. Elementos de L e a segunda linha de U:
    • Atualizamos a segunda linha:
      • Nova segunda linha = Segunda linha + 0.3 * Primeira linha
    • Então, e
  3. Elementos de L e a terceira linha de U:
    • Atualizamos a terceira linha:
      • Nova terceira linha = Terceira linha - 0.1 * Primeira linha
    • Agora, precisamos usar a segunda linha para eliminar o :
      • Atualizamos a terceira linha novamente:
        • Nova terceira linha = Terceira linha - (-0.1481) * Segunda linha
    • Então,
Portanto, nossas matrizes [L] e [U] são:

Passo 5

Agora, vamos multiplicar as matrizes [L] e [U] para verificar se realmente obtemos a matriz [A].
Fazendo a multiplicação:

$$
L \times U = L times U = 1 & 0 & 0 -0.3 & 1 & 0 0.1 & -0.1481 & 1 times 10 & 2 & -1 0 & -5.4 & 1.7 0 & 0 & 5.35 = 10 & 2 & -1 -3 & -6 & 2 1 & 1 & 5
\times

$$
Viu só? O produto [L][U] resulta na matriz [A] original! Isso confirma que nossa fatoração está correta.

Passo 6

Agora que temos [L] e [U], vamos resolver o sistema usando a fatoração LU. O sistema original b = 27 -61.5 -21.5 pode ser reescrito como 27 -53.4 -32.1 .
Primeiro, vamos resolver U = 10 & 2 & -1 0 & -5.4 & 1.7 0 & 0 & 5.35 , y = 27 -53.4 -32.1 para encontrar o vetor . Depois, resolvemos para encontrar o vetor .
Passo 6.1: Resolver
O vetor é:
Escrevendo as equações:
Resolvendo:
Então,
Passo 6.2: Resolver
Agora, temos:
Escrevendo as equações:
Resolvendo de baixo para cima:

Resposta

A solução do sistema é:
x1 = 0.5, x2 = 8, x3 = -6

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