integral0^3 x^2 e^x d x

Passo 1

Então, a gente tem que resolver a integral definida de de 0 a 3. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente usando a técnica de integração por partes. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a fórmula de integração por partes duas vezes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula de integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Aqui, a gente precisa escolher o que será e o que será . Uma boa escolha é deixar (porque ao derivar reduzimos o grau do polinômio) e (porque é fácil de integrar).

Passo 3

Vamos derivar e integrar o que escolhemos:
u = x^2 Rightarrow du = 2x , dx
dv = e^x , dx Rightarrow v = e^x
Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral x^2 e^x , dx = x^2 e^x - integral e^x cdot 2x , dx
Simplificando:
integral x^2 e^x , dx = x^2 e^x - 2 integral x e^x , dx

Passo 4

Agora, precisamos calcular u = x Rightarrow du = dx . Vamos aplicar novamente a integração por partes. Desta vez, deixamos:
dv = e^x , dx Rightarrow v = e^x
integral x e^x , dx = x e^x - integral e^x cdot 1 , dx = x e^x - e^x
Aplicando a fórmula:

Passo 5

Voltando à expressão anterior:
integral x^2 e^x , dx = x^2 e^x - 2 (x e^x - e^x) = x^2 e^x - 2x e^x + 2 e^x
Agora, avaliamos essa expressão de 0 a 3:
[ x^2 e^x - 2x e^x + 2 e^x ]0^3

Passo 6

Primeiro, calculamos para 3^2 e^3 - 2 cdot 3 e^3 + 2 e^3 = 9 e^3 - 6 e^3 + 2 e^3 = (9 - 6 + 2) e^3 = 5 e^3 :
0^2 e^0 - 2 cdot 0 e^0 + 2 e^0 = 0 - 0 + 2 cdot 1 = 2
Depois, para :

Passo 7

Subtraindo os valores:
5 e^3 - 2

Resposta

Portanto, o valor da integral é .

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