x 2 5 6 8 9 13 15
y 7 8 10 11 12 14 15
(a) Use a regressão linear por mínimos quadrados para determinar os coeficientes m e b da função y=m x+b que melhor se ajusta aos dados. (b) Use a Eq. (5.5) para determinar o erro global.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente fazer uma regressão linear usando mínimos quadrados com os dados fornecidos. Isso significa que vamos encontrar uma reta na forma que melhor se ajusta aos pontos dados. Para isso, vamos precisar calcular alguns valores como a média de e , a soma dos produtos e a soma dos quadrados de . Além disso, para a parte (b), vamos calcular o erro global usando uma fórmula específica.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados fornecidos:
|c|c| hline x & y hline 2 & 7 5 & 8 6 & 10 8 & 11 9 & 12 13 & 14 15 & 15 hline
Vamos calcular algumas somas que vamos precisar:
sum x = 2 + 5 + 6 + 8 + 9 + 13 + 15 = 58
sum y = 7 + 8 + 10 + 11 + 12 + 14 + 15 = 77
sum x^2 = 2^2 + 5^2 + 6^2 + 8^2 + 9^2 + 13^2 + 15^2 = 4 + 25 + 36 + 64 + 81 + 169 + 225 = 604
sum xy = (2 cdot 7) + (5 cdot 8) + (6 cdot 10) + (8 cdot 11) + (9 cdot 12) + (13 cdot 14) + (15 cdot 15) = 14 + 40 + 60 + 88 + 108 + 182 + 225 = 817
O número de pontos, , é 7.

Passo 3

Agora, vamos usar as fórmulas dos mínimos quadrados para calcular os coeficientes m = n sum xy - sum x sum yn sum x^2 - (sum x)^2 e b = sum y - m sum xn :
m = 7 cdot 817 - 58 cdot 777 cdot 604 - 58^2 = 5719 - 44664228 - 3364 = 1253864 approx 1,45
b = 77 - 1,45 cdot 587 = 77 - 84,17 = -7,17 approx -1,01
Vamos substituir os valores que calculamos:
Para :
Para :

Passo 4

Então, a equação da reta que melhor se ajusta aos dados usando regressão linear por mínimos quadrados é:
y = 1,45x - 1,01

Passo 5

Agora, vamos calcular o erro global usando a Eq. (5.5). Geralmente, isso significa calcular a soma dos quadrados dos resíduos, que é a diferença entre os valores observados e os valores previstos pela reta.
A fórmula é:
Er = sum (yi - (m xi + b))^2
Vamos calcular para cada ponto:
Er = (7 - (1,45 cdot 2 - 1,01))^2 + (8 - (1,45 cdot 5 - 1,01))^2 + dots + (15 - (1,45 cdot 15 - 1,01))^2
Calculando cada termo:
Er = (7 - (2,9 - 1,01))^2 + (8 - (7,25 - 1,01))^2 + (10 - (8,7 - 1,01))^2 + (11 - (11,6 - 1,01))^2 + (12 - (13,05 - 1,01))^2 + (14 - (18,85 - 1,01))^2 + (15 - (21,75 - 1,01))^2
Er = (7 - 1,89)^2 + (8 - 6,24)^2 + (10 - 7,69)^2 + (11 - 10,59)^2 + (12 - 12,04)^2 + (14 - 17,84)^2 + (15 - 20,74)^2
Er = (5,11)^2 + (1,76)^2 + (2,31)^2 + (0,41)^2 + (-0,04)^2 + (-3,84)^2 + (-5,74)^2
Er = 26,11 + 3,10 + 5,34 + 0,17 + 0,00 + 14,75 + 32,95 approx 82,32

Resposta

(a) A reta de regressão é .
(b) O erro global é aproximadamente .

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