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| u | 30 | 10 | 9 | 6 | 5 | 4 | 4 | . Por qual das funções x(t)=t /(a t+b) ou y(t)=a b^t você aproximaria a função u(t) ? Justifique a sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma tabela de valores para a função e precisamos decidir qual das duas funções dadas melhor aproxima . As funções são:
  1. – uma função racional.
  2. – uma função exponencial.
Para resolver isso, vamos analisar os dados e ver qual modelo se encaixa melhor.

Passo 2

Vamos começar olhando os valores de c|ccccccc t & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 hline u(t) & 30 & 10 & 9 & 6 & 5 & 4 & 4 para diferentes valores de :
Observamos que à medida que aumenta, diminui, mas de forma que eventualmente se estabiliza em 4. Isso sugere que a função pode estar se aproximando de um valor constante, o que é mais típico de uma função racional do que de uma exponencial.

Passo 3

Vamos examinar as duas funções:
  1. Função Racional :
    • À medida que aumenta, se aproxima de , pois os termos com dominam.
    • Isso explica porque se estabiliza em 4, sugerindo que , ou seja, .
  2. Função Exponencial :
    • Se , decresce exponencialmente.
    • No entanto, nunca se estabiliza exatamente em um valor constante; ele continua a decrescer ou crescer dependendo de .

Passo 4

Analisando os comportamentos:
  • A função racional explica a estabilização de em 4.
  • A função exponencial não explica essa estabilização, já que ela continua a decrescer sem se aproximar de um valor fixo.
Portanto, a função racional parece ser mais adequada para modelar .

Passo 5

Além disso, ao tentar ajustar os primeiros pontos com a função racional, podemos ver que ela se aproxima bem dos valores de , enquanto a função exponencial não se ajusta tão bem, especialmente nos valores maiores de .

Resposta

Eu aproximaria a função pela função , pois ela melhor explica a estabilização dos valores de conforme aumenta, ao contrário da função exponencial que não se ajusta tão bem a esse comportamento.

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