x 1 3 5 7 10
y 2,2 5,0 5,5 6,1 6,6
Determine os coeficientes m e b da função y=m xb+x que melhor se ajusta aos dados (linearize a equação (Seção 5.3) e use a regressão linear por mínimos quadrados para determinar o valor dos coeficientes).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela com valores de e , e a missão é encontrar os coeficientes e da função que melhor se ajusta aos dados fornecidos. Para isso, vamos usar o método de linearização e regressão linear por mínimos quadrados. Ou seja, vamos transformar a equação em uma forma linear para aplicar um modelo que ajusta os melhores valores de e aos nossos dados.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que temos: . Nosso objetivo é linearizar essa equação para facilitar a aplicação da regressão linear. Vamos fazer isso transformando a equação para que fique na forma , onde e são expressões envolvendo e .

Passo 3

Vamos começar dividindo ambos os lados da equação por b + xm x = 1y :
bm x + xm x = 1y
Expandindo isso:
bm cdot 1x + 1m = 1y
Simplificando:
1y = bm cdot 1x + 1m
Agora, temos uma equação linear na forma:
Y = bm X + 1m
Aqui, podemos ver que se considerarmos como e como , a equação se torna:
Isso é uma linha reta, onde é o coeficiente angular e é o coeficiente linear.

Passo 4

Agora, vamos calcular |c|c|c|c| hline x & y & 1x & 1y hline 1 & 2.2 & 1 & 0.4545 3 & 5.0 & 0.3333 & 0.2000 5 & 5.5 & 0.2000 & 0.1818 7 & 6.1 & 0.1429 & 0.1639 10 & 6.6 & 0.1000 & 0.1515 hline e para cada par de valores dados na tabela:

Passo 5

Vamos agora aplicar a regressão linear nos novos pares de dados sum X &= 1 + 0.3333 + 0.2000 + 0.1429 + 0.1000 = 1.7762 sum Y &= 0.4545 + 0.2000 + 0.1818 + 0.1639 + 0.1515 = 1.1517 sum XY &= (1)(0.4545) + (0.3333)(0.2000) + (0.2000)(0.1818) + (0.1429)(0.1639) + (0.1000)(0.1515) &= 0.4545 + 0.0667 + 0.0364 + 0.0234 + 0.0152 = 0.5962 sum X^2 &= (1)^2 + (0.3333)^2 + (0.2000)^2 + (0.1429)^2 + (0.1000)^2 &= 1 + 0.1111 + 0.0400 + 0.0204 + 0.0100 = 1.1815 . Para isso, precisamos calcular algumas somas:

Passo 6

Agora, vamos calcular o coeficiente angular a = n sum XY - sum X sum Yn sum X^2 - (sum X)^2 e o coeficiente linear c = sum Y - a sum Xn da linha de regressão usando as fórmulas de mínimos quadrados:
a = 5 times 0.5962 - 1.7762 times 1.15175 times 1.1815 - (1.7762)^2 = 2.981 - 2.04495.9075 - 3.1556 = 0.93612.7519 approx 0.3400
c = 1.1517 - 0.3400 times 1.77625 = 1.1517 - 0.60495 = 0.54685 approx 0.1094
Onde é o número de pontos.
Calculando :
Calculando :

Passo 7

Lembre-se que a nossa equação linearizada é:
1y = bm cdot 1x + 1m
Comparando com a forma geral a = bm , temos:
c = 1m
m = 1c = 10.1094 approx 9.142
A partir dessas equações, podemos resolver para b = a times m = 0.3400 times 9.142 approx 3.102 e .
Primeiro, de , temos:
Agora, usando :

Resposta

Os coeficientes que melhor se ajustam aos dados são e .

Exercícios relacionados