|
1 | 3 | 5 | 7 | 10 |
---|---|---|---|---|---|
|
2,2 | 5,0 | 5,5 | 6,1 | 6,6 |
Determine os coeficientes
e
da função
que melhor se ajusta aos dados (linearize a equação (Seção 5.3) e use a regressão linear por mínimos quadrados para determinar o valor dos coeficientes).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela com valores de
e
, e a missão é encontrar os coeficientes
e
da função
que melhor se ajusta aos dados fornecidos. Para isso, vamos usar o método de linearização e regressão linear por mínimos quadrados. Ou seja, vamos transformar a equação em uma forma linear para aplicar um modelo que ajusta os melhores valores de
e
aos nossos dados.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que temos:
. Nosso objetivo é linearizar essa equação para facilitar a aplicação da regressão linear. Vamos fazer isso transformando a equação para que fique na forma
, onde
e
são expressões envolvendo
e
.
Passo 3
Vamos começar dividindo ambos os lados da equação por
:
Expandindo isso:
Simplificando:
Agora, temos uma equação linear na forma:
Aqui, podemos ver que se considerarmos
como
e
como
, a equação se torna:
Isso é uma linha reta, onde
é o coeficiente angular e
é o coeficiente linear.
Passo 4
Agora, vamos calcular
e
para cada par de valores dados na tabela:
Passo 5
Vamos agora aplicar a regressão linear nos novos pares de dados
. Para isso, precisamos calcular algumas somas:
Passo 6
Agora, vamos calcular o coeficiente angular
e o coeficiente linear
da linha de regressão usando as fórmulas de mínimos quadrados:
Onde
é o número de pontos.
Calculando
:
Calculando
:
Passo 7
Lembre-se que a nossa equação linearizada é:
Comparando com a forma geral
, temos:
A partir dessas equações, podemos resolver para
e
.
Primeiro, de
, temos:
Agora, usando
:
Resposta
Os coeficientes que melhor se ajustam aos dados são
e
.